Quantifying internal variability in large-ensemble climate data with the Wasserstein distance

技術要約：大規模アンサンブル・気候データにおける内部変動の定量化：ワッサースタイン距離を用いて

問題提起
強制変動と内部変動の相対的な寄与を定量化することは、気候変動シグナルの検出および投影不確実性の評価において不可欠である。これには、単一モデル初期条件大規模アンサンブル（SMILEs）が標準的なツールとして用いられる。ここでは、アンサンブル平均が強制変動を表し、その残差が内部変動を表す。これらの成分を比較するための既存の指標は、主に分散（例：$\gamma_{var}$）や、シャノンエントロピーや相互情報量などの情報理論的量（例：$\gamma_{info}$）に依存している。しかし、分散ベースの指標は、気候変数（例：歪んだ、あるいはヘビーテイルな降水量）によく見られる非ガウス分布を適切に捉えることができない。一方、情報理論的指標は非ガウス性に対して頑健ではあるものの、ヒストグラムへのデータのビン化（binning）を必要とし、それが任意のパラメータ（ビン幅や範囲）への依存性を導入し、計算の複雑さを増大させる。したがって、分布全体の形状を反映し、非ガウス性や外れ値を扱い、かつ追加のパラメータを必要としない指標が必要とされている。

手法
著者らは、1次元の実数直線（$\mathbb{R}^1$) 上の1次ワッサースタイン距離（最適輸送コスト）に基づく新しい指標、$\gamma_{W1}$ を提案する。

1. 定義:

   • $x_{n,t}$ を、アンサンブルメンバー $n$ における時刻 $t$ の気候変数とする。
   • アンサンブル平均 $m_t$ は、強制変動として定義される。
   • 残差 $\eta_{n,t} = x_{n,t} - m_t$ は、内部変動として定義される。
   • 全体の平均 $m$ は、$m_t$ の時間平均である。

2. 指標の構築:

   • 内部変動の大きさ（$w_{int}$）は、全サンプル（$x_{n,t}$）の分布と、アンサンブル平均（$m_t$）の分布との間の1次ワッサースタイン距離として計算される。
   • 強制変動の大きさ（$w_{ext}$）は、アンサンブル平均（$m_t$）の分布と、全体の平均（$m$）との間の1次ワッサースタイン距離として計算される。
   • これらの距離を計算するために、著者らは $N_{ens} \times N_T$ 個の値である $x_{n,t}$ と、複製された $m_t$ の値を昇順にソートする。距離は、対応する分位点間の絶対差の平均となる。
   • 最終的な指標は以下の比率である：
     $$\gamma_{W1} := \frac{w_{int}}{w_{int} + w_{ext}}$$
   • この比率は0から1の範囲をとり、値が高いほど内部変動の相対的な寄与が大きいことを示す。

3. 計算上の利点:

   • この手法は、ソートと分位点の差分計算のみを必要とする。
   • ヒストグラムによるビン化とは異なり、追加のパラメータを必要としない。
   • あらゆる分布形状（非ガウス変数を含む）に適用可能である。

検証と結果
本研究では、合成気候データ（ガウス分布、一様分布、対数正規分布）を用いて $\gamma_{W1}$ を検証し、さらにCommunity Earth System Model Large Ensemble (CESM-LE) の歴史的シナリオ（20C）およびRCP8.5強制力シナリオにおける2m気温と総降水量に対して適用した。

• 合成データ解析:

  • 頑健性: $\gamma_{var}$（外れ値に敏感）や $\gamma_{info}$（外れ値とビン選択に敏感）とは異なり、$\gamma_{W1}$ は分布の形状や外れ値の有無に関わらず安定した推定値を提供する。
  • アンサンブルサイズ: 指標の安定性はアンサンブルサイズ（$N_{ens}$）に依存する。推定値は $N_{ens} \approx 40$ 以上で信頼できるものとなる。この閾値を下回ると、アンサンブル平均におけるサンプリング誤差が指標に影響を与える。
  • 比較: $\gamma_{W1}$ は、$\gamma_{info}$（最適なビン数を探索する必要があるため $O(NB)$）よりも計算効率が高く、一方で $\gamma_{var}$（$O(N)$）よりはわずかに効率が低い（ソートのため $O(N \log N)$）。

• CESM-LE への適用:

  • 気温: すべての指標は、放射強制力が増加するにつれて（20CからRCP8.5へ）、内部変動の相対的な寄与が減少することを示した。しかし、$\gamma_{W1}$ はこの応答の最も明確なシグナルを示し、差分マップにおいて最大の振幅を示した。
  • 降水量: 降水量はしばしばヘビーテイルな非ガウス分布を示す。両方の強制シナリオにおいて、$\gamma_{var}$ は世界的に1付近で飽和し、$\gamma_{info}$ は変化をほとんど示せず、強制力の増加に対する応答を検出できなかった。対照的に、$\gamma_{W1}$ は飽和せず、明確な空間構造（例：高緯度域および熱帯海洋における内部変動の減少）を明らかにし、強制応答の検出に成功した。

主要な貢献

1. 新しい指標: 最適輸送に基づく、パラメータフリーの指標 $\gamma_{W1}$ を導入し、内部変動の相対的な大きさを定量化した。
2. 分布に対する非依存性: この指標は分布全体の形状を捉えるため、既存の分散ベースの手法が失敗するような非ガウス的またはヘビーテイルな気候変数に適している。
3. 頑健性: 十分なアンサンブルサイズ（$N_{ens} \gtrsim 40$）が確保されている場合、外れ値に対する安定性と、任意のパラメータ（ビン幅など）からの独立性を実証した。
4. 実証的検証: CESM-LEへの適用により、特に降水量に関して、$\gamma_{W1}$ が既存の指標よりも内部変動と強制変動の相対的な変化を検出する上で効果的であることを示した。

意義と主張
本論文は、1次ワッサースタイン距離が大規模アンサンブル・データセットを分析するための「シンプルかつ有用なツール」を提供すると主張している。著者らは、$\gamma_{W1}$ を、非ガウスデータに対する分散ベースの指標に代わる優れた代替手段、および情報理論的指標に対する、より頑健でパラメータフリーな代替手段として位置づけている。本研究は、$\gamma_{W1}$ が、特に複雑な分布特性を持つ変数において、内部変動に対する強制応答のより明確なシグナルを提供することを示唆している。また、この指標は効果的ではあるものの、この新しいツールを用いた内部変動と強制変動の具体的な原因に関する詳細な分析は、今後の課題であるとも述べている。さらに、アンサンブル平均のためのワッサースタイン・バリセンター（重心）の使用や、モデルの不確実性に対処するためのマルチモデル・アンサンブルへの適用といった、潜在的な拡張についても概説している。