Fractional Model and Numerical Algorithms for Predicting Cactus Cochineal (Dactylopius opuntiae) Infestation on Prickly Pear with Quarantine and Treatment Strategies
本文开发了一个 Caputo–Fabrizio 分数阶数学模型，用于分析摩洛哥仙人掌上仙人掌衣虫（*Dactylopius opuntiae*）侵染的动力学过程，建立了解的存在性，通过有效再生数推导了稳定性条件，并利用数值算法和最优控制理论来评估用于有效害虫管理的检疫与治疗策略。
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在北非干旱的景观中，仙人掌不仅是一种植物，更是生命线。几个世纪以来，这些坚韧的植物为摩洛哥及整个马格里布地区的农村社区提供了食物、饲料和收入。然而，自2014年以来，一种被称为仙人掌胭脂虫的小型但具有毁灭性的昆虫威胁着要抹去这一农业遗产。这种害虫以仙人掌的汁液为食，由于其躲藏在保护性的白色棉絮状蜡层下，从而屏蔽了标准治疗手段，因此难以管理。当感染变得严重，覆盖超过四分之三的仙人掌茎片时，植物就会枯萎死亡。为了应对这一问题，当局实施了严格的措施，包括对整个区域进行隔离、对受感染的植物进行处理，以及销毁那些已经无法挽救的植物。然而，尽管做出了这些努力，害虫仍在继续蔓延，在某些地区，近四分之三的作物仍处于受感染状态。
了解这种害虫如何移动以及如何阻止它，需要的不仅仅是统计死掉的植物数量；它需要理解感染的隐藏历史。传统的模型通常假设植物对感染的反应是瞬间发生的，就像开关被打开一样。然而，自然界很少如此直接。害虫攻击的影响、虫害群落变得可见所需的时间，以及过去天气条件的持续影响，都在系统中创造了一种“记忆”。由摩洛洛哥和法国研究人员开展的一项新研究探讨了使用考虑这种“记忆”的数学方法，是否能更好地预测胭脂虫的扩散并改进用于对抗它的策略。通过将害虫的扩散视为一个受其过去影响的过程，而非简单的即时反应，研究人员旨在完善农民和决策者用来保护仙人掌的工具。
研究人员建立了一个详细的数学模型，将仙人掌种群分为六个不同的组：健康的植物、在症状出现前秘密携带害虫的植物、显示出明显感染迹象的植物、处于隔离中的植物、接受治疗的植物以及已被销毁的植物。然后，他们向该模型应用了一种特定的高级数学类型，称为分数阶导数。简单来说，这种数学工具允许模型“记住”系统的过去状态。模型不再仅仅询问现在正在发生什么，而是考虑当前情况是如何受到几天或几周前发生的事件所塑造的。这种方法反映了仙人掌胭脂虫的现实情况，即其保护性的蜡层会延迟治疗效果，且其虫群需要时间才会变得对检查员可见。
当团队运行模拟实验时，他们发现这种记忆效应显著改变了疫情爆发的时间线。虽然无论模型是否包含记忆，最终受感染的植物总数保持不变，但到达该状态的过程却有所不同。在基于记忆的模型中，感染高峰出现得较晚，且强度略低于传统模型。这种延迟对于管理至关重要；它表明系统对变化反应较慢，这为当局提供了稍长的窗口期，以便在情况变得危急之前采取行动。研究还测试了不同的控制措施（如隔离健康植物或治疗受感染植物）在这些条件下的表现。他们发现，通过隔离健康植物以防止其进入感染循环，在降低疫情峰值方面比治疗已经生病的植物要有效得多。这符合“从源头阻止传播优于在损害发生后尝试治愈”的逻辑。
为了确保模型的可靠性，研究人员使用合成数据对其进行了测试，这些数据是模仿现实世界实地调查的计算机生成场景。他们试图观察模型是否能正确识别害虫扩散的具体速率以及隔离措施的有效程度。结果对某些因素令人鼓舞，但也揭示了一个挑战。模型可以准确地确定隔离工作的有效性，这是决策者所需的一项关键信息。然而，如果仅通过观察受感染植物的总数，模型很难区分害虫自然扩散的速率与治疗发挥作用的速率。这表明，为了获得最准确的图景，当局需要通过直接观察昆虫本身来测量害虫的扩散情况，而不是仅仅依赖于受感染植物的数量。
研究进一步探讨了：如果当局可以根据时间动态调整其工作，那么最佳策略会是什么。利用一种寻找最有效路径的方法，他们模拟了一个场景，其中生物控制（如释放捕食性瓢虫）和行政控制（如加强巡逻以执行隔离）可以根据需要进行增强或减弱。模拟显示，最有效的做法是在疫情爆发初期进行快速、强力的隔离措施，随后随着威胁消退而逐渐减少。这种策略与不采取任何措施相比，可以将受感染植物的峰值减少近72%。然而，模型也揭示了一个艰难的权衡。成功阻止传播的激进隔离措施也会导致更多健康植物的毁灭。由于隔离区非常严格，许多实际上是健康的、但位于限制区域内的植物最终会被作为预防措施而销毁。研究人员发现，通过调整模型以明确赋予保护健康植物以价值，决策者可以找到在阻止害虫与挽救作物之间取得平衡的方法，尽管在严格隔离下，一些健康植物的损失仍不可避免。
最后，团队将这种最优控制策略直接应用于其基于记忆的模型中。他们发现，当考虑到系统的“记忆”时，控制策略变得更加高效。系统的“记忆”意味着过去干预措施的影响会持续存在，这使得最优策略能以同样的投入获得略微更好的结果。这表明，如果时机把握得当，仙人掌胭脂虫缓慢、累积式的扩散特性本身可以转化为一种优势。研究结论指出，尽管所使用的数学工具很复杂，但它们提供的见解具有实用性。通过承认害虫的扩散不是一个即时事件而是一个具有历史过程的过程，当局可以更好地把握干预的时机。研究强调，虽然没有任何单一策略可以完全消除威胁，但早期、强力的隔离与细致、有针对性的治疗相结合，是保护仙人掌产业的最佳机会，前提是必须接受销毁部分健康植物是必要防御的一部分这一事实。
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