On solution of Diffusion Equation using Conformable Laplace Transform

ملخص تقني: حل معادلة الانتشار الكسري باستخدام تحويل لابلاس التوافقي

بيان المشكلة
تتناول الورقة البحثية المعالجة التحليلية للمعادلات التفاضلية الكسرية، مع الترك التركيز بشكل خاص على معادلات الانتشار الكسري الزمني. وبينما تُعد المشتقات الكسرية الكلاسيكية (مثل مشتقات ريمان-ليوفيل وكابوتو) دقيقة رياضياً، إلا أنها غالباً ما تخفق في استيفاء الخصائص الجوهرية لحساب التفاضل والتكامل العادي، مثل قواعد الضرب والسلسلة القياسية. هذا القصور يعقد الحل التحليلي للمعادلات التفاضلية الكسرية. وعلى الرغم من أن المشتقة الكسرية التوافقية، التي قدمها خليل وآخرون، تحافظ على العديد من خصائص الحساب الكلاسيكي، إلا أن التطوير المنهجي لتحويل لابلاس المرتبط بها — وتحديداً فيما يتعلق بنظريات الارتداد والالتفاف — لا يزال مجالاً يتطلب مزيداً من الصياغة الرسمية للتعامل مع مسائل القيم الابتدائية والحدودية بفعالية.

المنهجية
يستخدم المؤلفون تحويل لابلاس الكسري التوافقي (CFLT)، المعرف للدالة $f(t)$ على الفترة $[a, \infty)$ كالتالي:
$$L^\alpha_a(f(t))(s) = \int_a^\infty e^{-s \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}} (t-a)^{\alpha-1} f(t) \, dt$$
حيث $\alpha \in [0, \infty)$.

تتقدم المنهجية عبر الخطوات المنطقية التالية:

1. الأساس النظري: تؤسس الورقة العلاقة بين تحويل لابلاس الكسري التوافقي (CFLT) وتحويل لابلاس الكلاسيكي عبر تغيير المتغير $\phi_a(t) = \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}$. يسمح هذا الربط للمؤلفين بتوسيع الخصائص الأولية للتحويل الكلاسيكي (الخطية، الإزاحة، القياس، التفاضل، والتكامل) إلى المجال الكسري التوافقي.
2. اشتقاق النظريات الرئيسية:
   • قواعد الاشتقاق والتكامل: يشتق المؤلفون تحويل (CFLT) للمشتقات والتكاملات التوافقية، مما يوفر صيغاً عامة للمشتقات من الرتبة $n$ وحالات محددة يتقلص فيها التحويل إلى الأشكال الكلاسيكية.
   • نظريات الارتداد (Inversion): تطور الورقة نظرية الارتداد، حيث تعبر عن تحويل (CFLT) العكسي بدلالة تحويل لابلاس العكسي الكلاسيكي المُقيم عند المتغير المحول. كما توفر صيغة الارتداد المعقدة (تكامل برومويتش) وصيغة الرواسب (residue form) للدوال الميرومورفية (meromorphic functions).
   • نظرية الالتفاف (Convolution): تم تقديم تعريف جديد للالتفاف الكسري، يُرمز له بـ $*_\alpha$:
     $$(f *_\alpha g)(t) = \int_0^t f(p) g\left((t^\alpha - p^\alpha)^{1/\alpha}\right) p^{\alpha-1} \, dp$$
     يثبت المؤلفون أن هذا المؤثر يحقق خصائص الإبدال، والتجميع، والتوزيع. كما يثبتون محدودية المؤثر في فضاءات $L^1_\alpha$ الموزونة، ويثبتون متباينة من نوع "يونج" لفضاءات $L^n_\alpha$.
3. التطبيق على معادلات الانتشار: يتم تطبيق الإطار المطور لحل مسائل القيم الابتدائية والحدودية (IBVPs) لمعادلة الانتشار الكسري الزمني في كل من النطاقات شبه اللانهائية والمنتهية. تتضمن العملية تحويل المعادلة التفاضلية الجزئية (PDE) إلى معادلة تفاضلية عادية (ODE) في المجال المكاني، ثم حل المعادلة العادية، وتطبيق تحويل (CLF T) العكسي (غالباً باستخدام نظرية الالتفاف) لاستعادة الحل في المجال الزمني.

المساهمات والنتائج الرئيسية

• توسيع الخصائص الكلاسيكية: نجحت الورقة في توسيع جميع الخصائص الأولية لتحويل لابلاس الكلاسيكي إلى الإطار الكسري التوافقي، مظهرةً أن (CFLT) يتصرف باتساق مع الحساب الكلاسيكي تحت تعريف المشتقة التوافقية.
• صيغ الارتداد والالتفاف: تتمثل المساهمة النظرية الرئيسية في الاشتقاق الدقيق لنظرية الارتداد ونظرية الالتفاف لـ (CFLT). هذه الأدوات ضرورية لحل المعادلات التفاضلية تحليلياً.
• الحلول التحليلية: تقدم الورقة حلولاً تحليلية صريحة لعدة مسائل محددة:
  • مسألة قيم ابتدائية وحدودية (IBVP) كسرية توافقية من الدرجة الأولى.
  • معادلة انتشار كسري زمني في وسط شبه لانهائي مع شرط حدي عام $u(0,t)=f(t)$، مما يؤدي إلى حل يُعبر عنه كالتفاف كسري.
  • معادلة انتشار كسري زمني في وسط منتهٍ مع شروط حدية مختلطة، تم حلها باستخدام نظرية الرواسب لتؤدي إلى حل متسلسل.
  • مسألة نطاق منتهٍ مع شروط "ديريكليه" الحدية، مما يعطي حلاً مغلق الصيغة يتضمن حداً يتلاشى أسياً يعتمد على $t^\alpha/\alpha$.
• التحليل الدالي: تؤسس الورقة لمحدودية مؤثر الالتفاف الكسري في فضاءات ليبيغ الموزونة، مما يوفر أساساً تحليلياً دالياً للطريقة.

الأهمية والادعاءات
يزعم المؤلفون أن تحويل لابلاس الكسري التوافقي يعمل كأداة تحليلية قوية تجسر الفجوة بين النماذج الكلاسية والكسرية. ومن خلال الحفاظ على البساطة الهيكلية لتحويل لابلاس الكلاسيكي (مثل قواعد الضرب والسلسلة) مع توسيع نطاق التطبيق للأنظمة ذات الرتب الكسرية، فإن الطريقة تبسط عملية الحل لمعادلات الانتشار الكسرية.

تخلص الورقة إلى أن المنهجية المطورة توفر إطاراً متسقاً لحل مسائل القيم الابتدائية والحدودية الكسرية. وتُظهر النتائج أن النموذج الكسري التوافقي يمكن أن يقدم حلولاً تحليلية صريحة لظواهر الانتشار في كل من النطاقات المنتهية وشبه اللانهائية، مما يؤكد صلاحية (CFLT) كبديل فعال لأساليب الحساب الكسري الأكثر تعقيداً. ويقترح المؤلفون إمكانية توسيع هذا الإطار لاستقصاء معادلات تفاضلية جزئية كسرية أكثر تعقيداً في الفيزياء والهندسة، رغم أنهم لم يقترحوا تطبيقات تجريبية جديدة محددة بخلاف الأمثلة الرياضية المقدمة.