On solution of Diffusion Equation using Conformable Laplace Transform

Technische Samenvatting: Oplossing van de Fractionele Diffusievergelijking met behulp van de Conformabele Laplace-transformatie

Probleemstelling
Het artikel behandelt de analytische behandeling van fractionele differentiaalvergelijkingen, met name met focus op tijd-fractionele diffusievergelijkingen. Hoewel klassieke fractionele afgeleiden (zoals Riemann–Liouville en Caputo) wiskundig strikt zijn, voldoen ze vaak niet aan fundamentele eigenschappen van de gewone calculus, zoals de standaard product- en kettingregels. Deze beperking bemoeilijkt de analytische oplossing van fractionele differentiaalvergelijkingen. Hoewel de conformabele fractionele afgeleide, geïntroduceerd door Khalil et al., veel eigenschappen van de klassieke calculus behoudt, blijft de systematische ontwikkeling van de bijbehorende Laplace-transformatie – specifiek wat betreft inversie- en convolutiestellingen – een gebied dat verdere formalisering vereist om effectief om te gaan met begin- en randwaardeproblemen.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van de Conformabele Fractionele Laplace-transformatie (CFLT), gedefinieerd voor een functie $f(t)$ op $[a, \infty)$ als:
$$L^\alpha_a(f(t))(s) = \int_a^\infty e^{-s \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}} (t-a)^{\alpha-1} f(t) \, dt$$
waarbij $\alpha \in [0, \infty)$.

De methodologie verloopt via de volgende logische stappen:

1. Theoretische Grondslag: Het artikel stelt de relatie vast tussen de CFLT en de klassieke Laplace-transformatie via een variabeletransformatie $\phi_a(t) = \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}$. Deze afbeelding stelt de auteurs in staat elementaire eigenschappen van de klassieke transformatie (lineariteit, verschuiving, schaling, differentiatie en integratie) uit te breiden naar het conformabele fractionele domein.
2. Afleiding van Belangrijke Stellingen:
   • Regels voor Afgeleiden en Integralen: De auteurs leiden de CFLT van conformabele afgeleiden en integralen af, waarbij ze algemene formules bieden voor afgeleiden van de $n$-de orde en specifieke gevallen waarin de transformatie terugvalt op klassieke vormen.
   • Inversiestellingen: Het artikel ontwikkelt de inversiestelling, waarbij de inverse CFLT wordt uitgedrukt in termen van de klassieke inverse Laplace-transformatie, geëvalueerd bij de getransformeerde variabele. Verder wordt de complexe inversieformule (Bromwich-integraal) en de residuvorm voor meromorfe functies gegeven.
   • Convolutiestelling: Een nieuwe definitie voor fractionele convolutie, aangeduid als $*_\alpha$, wordt geïntroduceerd:
     $$(f *_\alpha g)(t) = \int_0^t f(p) g\left((t^\alpha - p^\alpha)^{1/\alpha}\right) p^{\alpha-1} \, dp$$
     De auteurs bewijzen dat deze operator commutativiteit, associativiteit en distributiviteit voldoet. Zij stellen ook begrenzing vast in gewogen $L^1_\alpha$-ruimten en bewijzen een Young-achtige ongelijkheid voor $L^n_\alpha$-ruimten.
3. Toepassing op Diffusievergelijkingen: Het ontwikkelde raamwerk wordt toegepast om begin- en randwaardeproblemen (IBVP's) voor de tijd-fractionele diffusievergelijking op te lossen in zowel semi-oneindige als eindige domeinen. Het proces omvat het transformeren van de partiële differentiaalvergelijking (PDE) naar een gewone differentiaalvergelijking (ODE) in de ruimtelijke domein, het oplossen van de ODE, en het toepassen van de inverse CFLT (vaak gebruikmakend van de convolutiestelling) om de oplossing in het tijdsdomein te verkrijgen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Uitbreiding van Klassieke Eigenschappen: Het artikel breidt succesvol alle elementaire eigenschappen van de klassieke Laplace-transformatie uit naar de conformabele fractionele setting, en toont aan dat de CFLT consistent gedraagt met de klassieke calculus onder de definitie van de conformabele afgeleide.
• Inversie- en Convolutieformules: De primaire theoretische bijdrage is de strikte afleiding van de inversiestelling en de convolutiestelling voor de CFLT. Deze hulpmiddelen zijn essentieel voor het analytisch oplossen van differentiaalvergelijkingen.
• Analytische Oplossingen: Het artikel biedt expliciete analytische oplossingen voor verschillende specifieke problemen:
  • Een IBVP van de eerste orde met conformabele fractionele afgeleiden.
  • Een tijd-fractionele diffusievergelijking in een semi-oneindig medium met een algemene randvoorwaarde $u(0,t)=f(t)$, resulterend in een oplossing uitgedrukt als een fractionele convolutie.
  • Een tijd-fractionele diffusievergelijking in een eindig medium met gemengde randvoorwaarden, opgelost met behulp van de residustelling om een reeksoplossing te verkrijgen.
  • Een probleem in een eindig domein met Dirichlet-randvoorwaarden, resulterend in een gesloten-vormoplossing met een exponentiële vervalterm afhankelijk van $t^\alpha/\alpha$.
• Functionele Analyse: Het artikel vestigt de begrenzing van de fractionele convolutieoperator in gewogen Lebesgue-ruimten, en biedt zo een functioneel-analytische onderbouwing voor de methode.

Betekenis en Beweringen
De auteurs beweren dat de Conformabele Fractionele Laplace-transformatie fungeert als een krachtig analytisch instrument dat de kloof overbrugt tussen klassieke en fractionele modellen. Door de structurele eenvoud van de klassieke Laplace-transformatie te behouden (zoals de product- en kettingregels) terwijl de toepasbaarheid wordt uitgebreid naar systemen van fractionele orde, vereenvoudigt de methode het oplossingsproces voor fractionele diffusievergelijkingen.

Het artikel concludeert dat de ontwikkelde methodologie een consistent raamwerk biedt voor het oplossen van fractionele begin- en randwaardeproblemen. De resultaten tonen aan dat het conformabele fractionele model expliciete analytische oplossingen kan opleveren voor diffusieverschijnselen in zowel eindige als semi-oneindige domeinen, waarmee de CFLT wordt gevalideerd als een levensvatbaar alternatief voor complexere benaderingen binnen de fractionele calculus. De auteurs suggereren dat dit raamwerk kan worden uitgebreid om complexere fractionele partiële differentiaalvergelijkingen in natuurkunde en techniek te onderzoeken, hoewel ze geen specifieke nieuwe experimentele toepassingen voorstellen buiten de gegeven wiskundige voorbeelden.