On solution of Diffusion Equation using Conformable Laplace Transform

तकनीकी सारांश: अनुरूप लैप्लास ट्रांसफॉर्म (Conformable Laplace Transform) का उपयोग करके भिन्नात्मक प्रसार समीकरण (Fractional Diffusion Equation) का समाधान

समस्या विवरण
यह शोध पत्र भिन्नात्मक अवकल समीकरणों (fractional differential equations), विशेष रूप से समय-भिन्नात्मक प्रसार समीकरणों (time-fractional diffusion equations) के विश्लेणात्मक उपचार को संबोधित करता है। यद्यपि शास्त्रीय भिन्नात्मक अवकलज (जैसे रीमान-लिउविल और कैपुटो) गणितीय रूप से कठोर होते हैं, वे अक्सर साधारण कलन (calculus) के मौलिक गुणों, जैसे कि मानक गुणन और श्रृंखला नियमों (product and chain rules) का पालन करने में विफल रहते हैं। यह सीमा भिन्नात्मक अवकल समीकरणों के विश्लेणात्मक समाधान को जटिल बनाती है। हालाँकि, खलील एवं अन्य द्वारा प्रस्तुत 'अनुरूप भिन्नात्मक अवकलज' (conformable fractional derivative), शास्त्रीय कलन के कई गुणों को संरक्षित करता है, फिर भी इसके संबंधित लैप्लास ट्रांसफॉर्म के व्यवस्थित विकास—विशेष रूप से व्युत्क्रम (inversion) और अभिसरण (convolution) प्रमेयों के संबंध में—को प्रारंभिक-सीमा मान समस्याओं (initial-boundary value problems) को प्रभावी ढंग से संभालने के लिए आगे औपचारिकता की आवश्यकता है।

कार्यप्रणाली
लेखक अनुरूप भिन्नात्मक लैप्लास ट्रांसफॉर्म (CFLT) का उपयोग करते हैं, जो $[a, \infty)$ पर फलन $f(t)$ के लिए इस प्रकार परिभाषित है:
$$L^\alpha_a(f(t))(s) = \int_a^\infty e^{-s \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}} (t-a)^{\alpha-1} f(t) \, dt$$
जहाँ $\alpha \in [0, \infty)$ है।

कार्यप्रणाली निम्नलिखित तार्किक चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

1. सैद्धांतिक आधार: शोध पत्र एक चर परिवर्तन $\phi_a(t) = \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}$ के माध्यम से CFLT और शास्त्रीय लैप्लास ट्रांसफॉर्म के बीच संबंध स्थापित करता है। यह मैपिंग लेखकों को शास्त्रीय ट्रांसफॉर्म के मूलभूत गुणों (रैखिकता, शिफ्टिंग, स्केलिंग, अवकलन और समाकलन) को अनुरूप भिन्नात्मक डोमेन तक विस्तारित करने की अनुमति देती है।
2. प्रमुख प्रमेयों का व्युत्पत्ति:
   • अवकल और समाकलन नियम: लेखक अनुरूप अवकलजों और समाकलनों के CFLT को व्युत्पन्न करते हैं, जो $n$-वें क्रम के अवकलजों के सामान्य सूत्र और विशिष्ट मामले प्रदान करते हैं जहाँ ट्रांसफॉर्म शास्त्रीय रूपों में परिवर्तित हो जाता है।
   • व्युत्क्रम प्रमेय (Inversion Theorems): शोध पत्र व्युत्क्रम प्रमेय को विकसित करता है, जो रूपांतरित चर पर मूल्यांकित शास्त्रीय व्युत्क्रम लैप्लास ट्रांसफॉर्म के संदर्भ में व्युत्क्रम CFLT को व्यक्त करता है। यह ब्रॉमविच इंटीग्रल (Bromwich integral) के रूप में जटिल व्युत्क्रम सूत्र और मेरोमोर्फिक फलनों (meromorphic functions) के लिए अवशेष (residue) रूप को भी प्रदान करता है।
   • अभिसरण प्रमेय (Convolution Theorem): भिन्नात्मक अभिसरण के लिए एक नया परिभाषा, जिसे $*_\alpha$ द्वारा दर्शाया गया है, पेश किया गया है:
     $$(f *_\alpha g)(t) = \int_0^t f(p) g\left((t^\alpha - p^\alpha)^{1/\alpha}\right) p^{\alpha-1} \, dp$$
     लेखक सिद्ध करते हैं कि यह ऑपरेटर क्रमविनिमेयता (commutativity), साहचर्य (associativity) और वितरण (distributivity) का पालन करता है। वे भारित $L^1_\alpha$ स्थानों में परिबद्धता (boundedness) भी स्थापित करते हैं और $L^n_\alpha$ स्थानों के लिए एक यंग-प्रकार का असमानता (Young-type inequality) सिद्ध करते हैं।
3. प्रसार समीकरणों पर अनुप्रयोग: विकसित ढांचे को अर्ध-अनंत (semi-infinite) और परिमित (finite) डोमेन दोनों में समय-भिन्नात्मक प्रसार समीकरण के लिए प्रारंभिक-सीमा मान समस्याओं (IBVPs) को हल करने के लिए लागू किया जाता है। प्रक्रिया में आंशिक अवकल समीकरण (PDE) को स्थानिक डोमेन में एक साधारण अवकल समीकरण (ODE) में बदलना, ODE को हल करना, और समय-डोमेन समाधान को पुनः प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम CFLT (अक्सर अभिसरण प्रमेय का उपयोग करते हुए) को लागू करना शामिल है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

• शास्त्रीय गुणों का विस्तार: शोध पत्र सफलतापूर्वक शास्त्रीय लैप्लास ट्रांसफॉर्म के सभी मूलभूत गुणों को अनुरूप भिन्नात्मक परिवेश में विस्तारित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि CFLT अनुरूप अवकलज परिभाषा के तहत शास्त्रीय कलन के साथ सुसंगत व्यवहार करता है।
• व्युत्क्रम और अभिसरण सूत्र: प्राथमिक सैद्धांतिक योगदान CFLT के लिए व्युत्क्रम प्रमेय और अभिसरण प्रमेय का कठोर व्युत्पत्ति है। ये उपकरण भिन्नात्मक समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक हैं।
• विश्लेणात्मक समाधान: शोध पत्र कई विशिष्ट समस्याओं के लिए स्पष्ट विश्लेणात्मक समाधान प्रदान करता है:
  • एक प्रथम-क्रम अनुरूप भिन्नात्मक IBVP।
  • एक सामान्य सीमा स्थिति $u(0,t)=f(t)$ के साथ अर्ध-अनंत माध्यम में एक समय-भिन्नात्मक प्रसार समीकरण, जिसके परिणामस्वरूप एक समाधान भिन्नात्मक अभिसरण के रूप में प्राप्त होता है।
  • मिश्रित सीमा स्थितियों के साथ एक परिमित माध्यम में एक समय-भिन्नात्मक प्रसार समीकरण, जिसे अवशेष प्रमेय (residue theorem) का उपयोग करके एक श्रेणी समाधान (series solution) के रूप में हल किया गया है।
  • डिरिचलेट सीमा स्थितियों के साथ एक परिमित डोमेन समस्या, जो $t^\alpha/\alpha$ पर निर्भर घातांकीय क्षय पद (exponential decay term) के साथ एक बंद-रूप (closed-form) समाधान प्रदान करती है।
• फंक्शनल एनालिसिस: शोध पत्र भारित लेबेग स्थानों (Lebesgue spaces) में भिन्नात्मक अभिसरण ऑपरेटर की परिबद्धता स्थापित करता है, जिससे इस पद्धति को एक फंक्शनल-एनालिटिक आधार मिलता है।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि अनुरूप भिन्नात्मक लैप्लास ट्रांसफॉर्म एक शक्तिशाली विश्लेणात्मक उपकरण के रूप में कार्य करता है जो शास्त्रीय और भिन्नात्मक मॉडलों के बीच के अंतर को पाटता है। शास्त्रीय लैप्लास ट्रांसफॉर्म की संरचनात्मक सरलता (जैसे उत्पाद और श्रृंखला नियम) को संरक्षित करते हुए भिन्नात्मक-क्रम प्रणालियों की प्रयोज्यता का विस्तार करके, यह विधि भिन्नात्मक प्रसार समीकरणों के समाधान की प्रक्रिया को सरल बनाती है।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि विकसित कार्यप्रणाली भिन्नात्मक प्रारंभिक-सीमा मान समस्याओं को हल करने के लिए एक सुसंगत ढांचा प्रदान करती है। परिणाम प्रदर्शित करते हैं कि अनुरूप भिन्नात्मक मॉडल, परिमित और अर्ध-अनंत दोनों डोमेन में प्रसार घटनाओं के लिए स्पष्ट विश्लेणात्मक समाधान प्रदान कर सकता है, जो CFLF को अधिक जटिल भिन्नात्मक कलन दृष्टिकोणों के एक व्यवहार्य विकल्प के रूप में मान्य करता है। लेखक सुझाव देते हैं कि इस ढांचे को भौतिकी और इंजीनियरिंग में अधिक जटिल भिन्नात्मक आंशिक अवकल समीकरणों की जांच के लिए विस्तारित किया जा सकता है, हालांकि वे प्रदान किए गए गणितीय उदाहरणों के परे किसी विशिष्ट नए प्रायोगिक अनुप्रयोग का प्रस्ताव नहीं करते हैं।