On solution of Diffusion Equation using Conformable Laplace Transform

Resumen Técnico: Solución de la Ecuación de Difusión Fraccional Mediante la Transformada de Laplace Conformable

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el tratamiento analítico de ecuaciones diferenciales fraccionarias, centrándose específicamente en las ecuaciones de difusión fraccionales en el tiempo. Si bien las derivadas fraccionarias clásicas (como las de Riemann–Liouville y Caputo) son matemáticamente rigurosas, a menudo no satisfacen propiedades fundamentales del cálculo ordinario, tales como las reglas estándar del producto y de la cadena. Esta limitación complica la solución analítica de las ecuaciones diferenciales fraccionarias. Aunque la derivada fraccional conformable, introducida por Khalil et al., preserva muchas propiedades del cálculo clásico, el desarrollo sistemático de su transformada de Laplace asociada —específicamente en lo concerniente a los teoremas de inversión y convolución— sigue siendo un área que requiere mayor formalización para abordar eficazmente los problemas de valor inicial y de frontera.

Metodología
Los autores emplean la Transformada de Laplace Fraccional Conformable (TLFC), definida para una función $f(t)$ en $[a, \infty)$ como:
$$L^\alpha_a(f(t))(s) = \int_a^\infty e^{-s \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}} (t-a)^{\alpha-1} f(t) \, dt$$
donde $\alpha \in [0, \infty)$.

La metodología procede a través de los siguientes pasos lógicos:

1. Fundamento Teórico: El artículo establece la relación entre la TLFC y la transformada de Laplace clásica mediante un cambio de variables $\phi_a(t) = \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}$. Esta aplicación permite a los autores extender las propiedades elementales de la transformada clásica (linealidad, desplazamiento, escalado, diferenciación e integración) al dominio fraccional conformable.
2. Derivación de Teoremas Clave:
   • Reglas de Derivada e Integral: Los autores derivan la TLFC de derivadas e integrales conformables, proporcionando fórmulas generales para derivadas de orden $n$ y casos específicos donde la transformada se reduce a formas clásicas.
   • Teoremas de Inversión: El artículo desarrolla el teorema de inversión, expresando la TLFC inversa en términos de la transformada de Laplace inversa clásica evaluada en la variable transformada. Además, proporciona la fórmula compleja de inversión (integral de Bromwich) y la forma de residuo para funciones meromorfas.
   • Teorema de Convolución: Se introduce una nueva definición para la convolución fraccional, denotada como $*_\alpha$:
     $$(f *_\alpha g)(t) = \int_0^t f(p) g\left((t^\alpha - p^\alpha)^{1/\alpha}\right) p^{\alpha-1} \, dp$$
     Los autores demuestran que este operador satisface la conmutatividad, la asociatividad y la distributividad. También establecen la acotación en espacios $L^1_\alpha$ ponderados y prueban una desigualdad tipo Young para espacios $L^n_\alpha$.
3. Aplicación a Ecuaciones de Difusión: El marco desarrollado se aplica para resolver problemas de valor inicial y de frontera (PVIF) para la ecuación de difusión fraccional en el tiempo, tanto en dominios semi-infinitos como finitos. El proceso implica transformar la ecuación diferencial parcial (EDP) en una ecuación diferencial ordinaria (EDO) en el dominio espacial, resolver la EDO y aplicar la TLFC inversa (a menudo utilizando el teorema de convolución) para recuperar la solución en el dominio temporal.

Contribuciones y Resultados Clave

• Extensión de Propiedades Clásicas: El artículo extiende con éxito todas las propiedades elementales de la transformada de Laplace clásica al contexto fraccional conformable, demostrando que la TLFC se comporta de manera consistente con el cálculo clásico bajo la definición de derivada conformable.
• Fórmulas de Inversión y Convolución: La contribución teórica principal es la derivación rigurosa del teorema de inversión y del teorema de convolución para la TLFC. Estas herramientas son esenciales para resolver ecuaciones diferenciales analíticamente.
• Soluciones Analíticas: El artículo proporciona soluciones analíticas explícitas para varios problemas específicos:
  • Un PVIF fraccional conformable de primer orden.
  • Una ecuación de difusión fraccional en el tiempo en un medio semi-infinito con una condición de frontera general $u(0,t)=f(t)$, resultando en una solución expresada como una convolución fraccional.
  • Una ecuación de difusión fraccional en el tiempo en un medio finito con condiciones de frontera mixtas, resuelta utilizando el teorema de los residuos para obtener una solución en serie.
  • Un problema en dominio finito con condiciones de frontera de Dirichlet, que produce una solución de forma cerrada que involucra un término de decaimiento exponencial dependiente de $t^\alpha/\alpha$.
• Análisis Funcional: El artículo establece la acotación del operador de convolución fraccional en espacios de Lebesgue ponderados, proporcionando una base de análisis funcional para el método.

Significado y Afirmaciones
Los autores afirman que la Transformada de Laplace Fraccional Conformable sirve como una potente herramienta analítica que cierra la brecha entre los modelos clásicos y fraccionarios. Al preservar la simplicidad estructural de la transformada de Laplace clásica (tales como las reglas del producto y de la cadena) mientras extiende la aplicabilidad a sistemas de orden fraccional, el método simplifica el proceso de solución de las ecuaciones de difusión fraccionales.

El artículo concluye que la metodología desarrollada ofrece un marco consistente para resolver problemas de valor inicial y de frontera fraccionarios. Los resultados demuestran que el modelo fraccional conformable puede producir soluciones analíticas explícitas para fenómenos de difusión tanto en dominios finitos como semi-infinitos, validando la TLFC como una alternativa viable a enfoques de cálculo fraccional más complejos. Los autores sugieren que este marco puede extenderse para investigar ecuaciones diferenciales parciales fraccionarias más complejas en física e ingeniería, aunque no proponen nuevas aplicaciones experimentales específicas más allá de los ejemplos matemáticos proporcionados.