On solution of Diffusion Equation using Conformable Laplace Transform

Resumo Técnico: Solução da Equação de Difusão Fracionária Utilizando a Transformada de Laplace Conformável

Enunciado do Problema
O artigo aborda o tratamento analítico de equações diferenciais fracionárias, focando especificamente em equações de difusão de ordem fracionária no tempo. Embora as derivadas fracionárias clássicas (como as de Riemann–Liouville e Caputo) sejam matematicamente rigorosas, elas frequentemente falham em satisfazer propriedades fundamentais do cálculo ordinário, como as regras padrão de produto e de cadeia. Essa limitação complica a solução analítica de equações diferenciais fracionárias. Embora a derivada fracionária conformável, introduzida por Khalil et al., preserve muitas propriedades do cálculo clássico, o desenvolvimento sistemático de sua Transformada de Laplace associada — especificamente no que tange aos teoremas de inversão e convolução — permanece uma área que requer maior formalização para lidar efetivamente com problemas de valor inicial e de fronteira.

Metodologia
Os autores empregam a Transformada de Laplace Fracionária Conformável (TLFC), definida para uma função $f(t)$ em $[a, \infty)$ como:
$$L^\alpha_a(f(t))(s) = \int_a^\infty e^{-s \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}} (t-a)^{\alpha-1} f(t) \, dt$$
onde $\alpha \in [0, \infty)$.

A metodologia prossegue através das seguintes etapas lógicas:

1. Fundamentação Teórica: O artigo estabelece a relação entre a TLFC e a Transformada de Laplace clássica por meio de uma mudança de variáveis $\phi_a(t) = \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}$. Essa mapeamento permite aos autores estender propriedades elementares da transformada clássica (linearidade, deslocamento, escalonamento, diferenciação e integração) para o domínio fracionário conformável.
2. Derivação de Teoremas Chave:
   • Regras de Derivada e Integral: Os autores derivam a TLFC de derivadas e integrais conformáveis, fornecendo fórmulas gerais para derivadas de $n$-ésima ordem e casos específicos onde a transformada se reduz a formas clássicas.
   • Teoremas de Inversão: O artigo desenvolve o teorema de inversão, expressando a TLFC inversa em termos da Transformada de Laplace inversa clássica avaliada na variável transformada. Além disso, fornece a fórmula complexa de inversão (integral de Bromwich) e a forma de resíduo para funções meromorfas.
   • Teorema da Convolução: É introduzida uma nova definição para convolução fracionária, denotada como $*_\alpha$:
     $$(f *_\alpha g)(t) = \int_0^t f(p) g\left((t^\alpha - p^\alpha)^{1/\alpha}\right) p^{\alpha-1} \, dp$$
     Os autores provam que este operador satisfaz comutatividade, associatividade e distributividade. Eles também estabelecem a limitação em espaços $L^1_\alpha$ ponderados e provam uma desigualdade do tipo Young para espaços $L^n_\alpha$.
3. Aplicação a Equações de Difusão: A estrutura desenvolvida é aplicada para resolver problemas de valor inicial e de fronteira (PVIF) para a equação de difusão de ordem fracionária no tempo, tanto em domínios semi-infinitos quanto finitos. O processo envolve transformar a equação diferencial parcial (EDP) em uma equação diferencial ordinária (EDO) no domínio espacial, resolver a EDO e aplicar a TLFC inversa (frequentemente utilizando o teorema da convolução) para recuperar a solução no domínio do tempo.

Contribuições e Resultados Principais

• Extensão de Propriedades Clássicas: O artigo estende com sucesso todas as propriedades elementares da Transformada de Laplace clássica para o cenário fracionário conformável, demonstrando que a TLFC se comporta de forma consistente com o cálculo clássico sob a definição de derivada conformável.
• Fórmulas de Inversão e Convolução: A principal contribuição teórica é a derivação rigorosa do teorema de inversão e do teorema da convolução para a TLFC. Essas ferramentas são essenciais para a resolução analítica de equações diferenciais.
• Soluções Analíticas: O artigo fornece soluções analíticas explícitas para vários problemas específicos:
  • Um PVIF fracionário conformável de primeira ordem.
  • Uma equação de difusão de ordem fracionária no tempo em um meio semi-infinito com uma condição de fronteira geral $u(0,t)=f(t)$, resultando em uma solução expressa como uma convolução fracionária.
  • Uma equação de difusão de ordem fracionária no tempo em um meio finito com condições de fronteira mistas, resolvida utilizando o teorema dos resíduos para produzir uma solução em série.
  • Um problema de domínio finito com condições de fronteira de Dirichlet, produzindo uma solução em forma fechada envolvendo um termo de decaimento exponencial dependente de $t^\alpha/\alpha$.
• Análise Funcional: O artigo estabelece a limitação do operador de convolução fracionária em espaços de Lebesgue ponderados, fornecendo uma fundação de análise funcional para o método.

Significado e Afirmações
Os autores afirmam que a Transformada de Laplace Fracionária Conformável serve como uma poderosa ferramenta analítica que preenche a lacuna entre modelos clássicos e fracionários. Ao preservar a simplicidade estrutural da Transformada de Laplace clássica (como as regras de produto e de cadeia) enquanto estende a aplicabilidade a sistemas de ordem fracionária, o método simplifica o processo de solução para equações de difusão fracionárias.

O artigo conclui que a metodologia desenvolvida oferece um quadro consistente para resolver problemas de valor inicial e de fronteira fracionários. Os resultados demonstram que o modelo fracionário conformável pode produzir soluções analíticas explícitas para fenômenos de difusão em domínios finitos e semi-infinitos, validando a TLFC como uma alternativa viável a abordagens de cálculo fracionário mais complexas. Os autores sugerem que este quadro pode ser estendido para investigar equações diferenciais parciais fracionárias mais complexas em física e engenharia, embora não proponham novas aplicações experimentais específicas além dos exemplos matemáticos fornecidos.