On solution of Diffusion Equation using Conformable Laplace Transform

Sintesi Tecnica: Soluzione dell'Equazione di Diffusione Frazionaria mediante Trasformata di Laplace Conformabile

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta il trattamento analitico delle equazioni differenziali frazionarie, concentrandosi specificamente sulle equazioni di diffusione frazionarie nel tempo. Sebbene le derivate frazionarie classiche (quali Riemann–Liouville e Caputo) siano matematicamente rigorose, spesso non soddisfano proprietà fondamentali del calcolo ordinario, come le regole standard del prodotto e della catena. Questa limitazione complica la soluzione analitica delle equazioni differenziali frazionarie. Sebbene la derivata frazionaria conformabile, introdotta da Khalil et al., preservi molte proprietà del calcolo classico, lo sviluppo sistematico della sua trasformata di Laplace associata — in particolare per quanto riguarda i teoremi di inversione e di convoluzione — rimane un'area che richiede ulteriore formalizzazione per gestire efficacemente i problemi ai limiti iniziali.

Metodologia
Gli autori impiegano la Trasformata di Laplace Frazionaria Conformabile (CFLT), definita per una funzione $f(t)$ su $[a, \infty)$ come:
$$L^\alpha_a(f(t))(s) = \int_a^\infty e^{-s \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}} (t-a)^{\alpha-1} f(t) \, dt$$
dove $\alpha \in [0, \infty)$.

La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi logici:

1. Fondamento Teorico: Il lavoro stabilisce la relazione tra la CFLT e la trasformata di Laplace classica mediante un cambiamento di variabile $\phi_a(t) = \frac{(t-a)^\alpha}{\alpha}$. Questa mappatura permette agli autori di estendere le proprietà elementari della trasformata classica (linearità, traslazione, scalatura, differenziazione e integrazione) al dominio frazionario conformabile.
2. Derivazione dei Teoremi Chiave:
   • Regole per Derivate e Integrali: Gli autori derivano la CFLT di derivate e integrali conformabili, fornendo formule generali per derivate di ordine $n$ e casi specifici in cui la trasformata si riduce a forme classiche.
   • Teoremi di Inversione: Il lavoro sviluppa il teorema di inversione, esprimendo la CFLT inversa in termini della trasformata di Laplace classica inversa valutata alla variabile trasformata. Fornisce inoltre la formula di inversione complessa (integrale di Bromwich) e la forma dei residui per funzioni meromorfe.
   • Teorema di Convoluzione: Viene introdotta una nuova definizione per la convoluzione frazionaria, indicata come $*_\alpha$:
     $$(f *_\alpha g)(t) = \int_0^t f(p) g\left((t^\alpha - p^\alpha)^{1/\alpha}\right) p^{\alpha-1} \, dp$$
     Gli autori dimostrano che questo operatore soddisfa commutatività, associatività e distributività. Stabiliscono inoltre la limitatezza negli spazi $L^1_\alpha$ pesati e dimostrano una disuguaglianza di tipo Young per gli spazi $L^n_\alpha$.
3. Applicazione alle Equazioni di Diffusione: Il quadro teorico sviluppato viene applicato per risolvere problemi ai limiti iniziali (IBVP) per l'equazione di diffusione frazionaria nel tempo sia in domini semi-infiniti che finiti. Il processo comporta la trasformazione dell'equazione differenziale alle derivate parziali (PDE) in un'equazione differenziale ordinaria (ODE) nel dominio spaziale, la risoluzione dell'ODE e l'applicazione della CFLT inversa (spesso utilizzando il teorema di convoluzione) per recuperare la soluzione nel dominio temporale.

Contributi e Risultati Chiave

• Estensione delle Proprietà Classiche: Il lavoro estende con successo tutte le proprietà elementari della trasformata di Laplace classica al contesto frazionario conformabile, dimostrando che la CFLT si comporta in modo coerente con il calcolo classico sotto la definizione di derivata conformabile.
• Formule di Inversione e Convoluzione: Il contributo teorico principale è la derivazione rigorosa del teorema di inversione e del teorema di convoluzione per la CFLT. Questi strumenti sono essenziali per la risoluzione analitica delle equazioni differenziali.
• Soluzioni Analitiche: Il lavoro fornisce soluzioni analitiche esplicite per diversi problemi specifici:
  • Un IBVP frazionario conformabile del primo ordine.
  • Un'equazione di diffusione frazionaria nel tempo in un mezzo semi-infinito con una condizione al contorno generale $u(0,t)=f(t)$, risultante in una soluzione espressa come convoluzione frazionaria.
  • Un'equazione di diffusione frazionaria nel tempo in un mezzo finito con condizioni al contorno miste, risolta utilizzando il teorema dei residui per ottenere una soluzione in serie.
  • Un problema su dominio finito con condizioni al contorno di Dirichlet, che produce una soluzione in forma chiusa contenente un termine di decadimento esponenziale dipendente da $t^\alpha/\alpha$.
• Analisi Funzionale: Il lavoro stabilisce la limitatezza dell'operatore di convoluzione frazionaria negli spazi di Lebesgue pesati, fornendo una fondazione di analisi funzionale per il metodo.

Significato e Affermazioni
Gli autori affermano che la Trasformata di Laplace Frazionaria Conformabile funge da potente strumento analitico che colma il divario tra modelli classici e frazionari. Preservando la semplicità strutturale della trasformata di Laplace classica (come le regole del prodotto e della catena) ed estendendo al contempo l'applicabilità ai sistemi di ordine frazionario, il metodo semplifica il processo di soluzione delle equazioni di diffusione frazionarie.

Il lavoro conclude che la metodologia sviluppata offre un quadro coerente per la risoluzione di problemi ai limiti iniziali frazionari. I risultati dimostrano che il modello frazionario conformabile può produrre soluzioni analitiche esplicite per fenomeni di diffusione sia in domini finiti che semi-infiniti, validando la CFLT come un'alternativa praticabile ad approcci di calcolo frazionario più complessi. Gli autori suggeriscono che questo quadro può essere esteso per investigare equazioni differenziali alle derivate parziali frazionarie più complesse in fisica e ingegneria, sebbene non propongano nuove applicazioni sperimentali specifiche oltre agli esempi matematici forniti.