Conforming/Non-conforming Virtual Elements and application to elasticity problems in curved three-dimensional domains

ملخص تقني: العناصر الافتراضية المتوافقة/غير المتوافقة وتطبيقها على مسائل المرونة في النطاقات ثلاثية الأبعاد المنحنية

بيان المشكلة
أثبتت طريقة العناصر الافتراضية (VEM) نفسها كإطار عمل مرن لتقطيع المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) على شبكات متعددة الأوجه عامة. ومع ذلك، لا تزال هناك تحديات كبيرة في تطبيق طريقة VEM على المسائل ثلاثية الأبعاد ذات النطاقات المنحنية. وبينما تعد طريقة VEM ثنائية الأبعاد مع حدود منحنية متطورة جيداً، تواجه التطبيقات ثلاثية الأبعاد صعوبات في تعريف الفضاءات على الأسطح المنحنية وحساب الإسقاطات اللازمة. تعتمد النهج الحالية غالباً على إنشاءات معقدة من نوع "السيد والعبد" (master-slave)، أو فرض الشروط الحدية بشكل ضعيف، أو استخدام صياغات مختلطة بمتغيرات غير مستمرة. وفي سياق ميكانيكا المواد الصلبة، تُعد الطرق التي تنتج حقول إزاحة غير مستمرة غير فيزيائية من الناحية الواقعية. علاوة على ذلك، فإن الشبكات متعددة السطوح القياسية ذات الحواف المستقيمة تؤدي إلى أخطاء تقريب هندسي قد تهيمن على خطأ الحل بالنسبة للمخططات عالية الرتبة.

المنهجية
يقترح المؤلفون طريقة عناصر افتراضية متوافقة/غير متوافقة (C-NC) مبتكرة تسمح للمستخدم بتحديد وجوه الشبكة بشكل انتقائي كوجوه متوافقة أو غير متوافقة.

• بناء الفضاء الهجين: تُعرف الطريقة فضاءً افتراضياً محلياً $W^k_h(E)$ على متعدد أوجه $E$ عن طريق تقسيم وجوه حدوده إلى مجموعة متوافقة ($\mathcal{F}^c_E$) ومجموعة غير متوافقة ($\mathcal{F}^n_E$).
  • على الوجوه المتوافقة، يكون الحل مستمراً ($C^0$)، ويتبع الفضاء تعريف VEM العقدي القياسي (المعزز بالعزوم متعددة الحدود).
  • على الوجوه غير المتوافقة، يُسمح للحل بأن يكون غير مستمر، ويُشترط أن يكون المشتق العمودي عبارة عن متعدد حدود من الدرجة $k-1$.
  • يتم بناء الفضاء العالمي من خلال فرض الاستمرارية فقط عبر الوجوه المتوافقة. هذا "العنصر الهجين" يُبنى عبر مسائل بواسون محلية بظروف حدية مختلطة (ديريكليه على الوجوه المتوافقة، ونيومان على الوجوه غير المتوافقة).
• درجات الحرية (DoFs): يُعرف الفضاء من خلال التقييمات النقطية عند الرؤوس ونقاط الحواف (على الحدود المتوافقة)، وعزوم الدالة ومشتقها العمودي على الوجوه. ومن الأهمية بمكان أن الإسقاطات المطلوبة لمصفوفة الصلابة (تحديداً إسقاطات $L^2$ وإسقاطات الطاقة) يمكن حسابها فقط من هذه الـ DoFs، حتى مع الشروط الحدية المختلطة.
• التطبيق على النطاقات المنحنية: تُطبق الطريقة على المرونة الخطية ثلاثية الأبعاد في النطاقات المنحنية. وتتضمن الاستراتيجية ما يلي:
  • استخدام وجوه مستوية متوافقة لداخل النطاق لضمان استمرارية الإزاحة العالمية.
  • استخدام وجوه منحنية غير متوافقة حصرياً على الحدود $\partial\Omega$ لتمثيل الهندسة الدقيقة.
  • تعريف الفضاء الافتراضي على الوجوه المنحنية باستخدام متعددات حدود مُسقطة عبر معلمة سلسة $\gamma_F$.
  • تقريب التكاملات الحدية في مؤثرات الإسقاط باستخدام الـ DoFs غير المتوافقة، مع الإقرار بأن هذا يعد تقريباً ضرورياً عندما لا يكون المشتق العمودي للإسقاط ضمن فضاء متعدد الحدود المُسقط.

المساهمات الرئيسية

1. عنصر هجين مبتكر: تقدم الورقة صياغة VEM حيث يكون الطابع المتوافق/غير المتوافق للوجوه خياراً يحدده المستخدم، مما يسمح باستعادة VEM المتوافقة الكلاسيكية، أو VEM غير المتوافقة، أو مزيج منهما.
2. التحليل النظري: يقدم المؤلفون تحليلاً صارماً للاستقرار والتقارب لفضاء C-NC. حيث يثبتون التكافؤ بين شبه معيار $H^1$ والتثبيت القائم على الـ DoF، ويضعون تقديرات الاستيفاء، ويستنتجون حدود الخطأ المثلى لمسألة المرونة الخطية.
3. المرونة ثلاثية الأبعاد المنحنية: توضح الورقة منهجية عملية لحل مسائل المرونة ثلاثية الأبعاد على النطاقات المنحنية. وبخلاف مناهج VEM المنحنية ثلاثية الأبعاد السابقة التي تؤدي إلى إزاحات غير مستمرة أو تتطلب إنشاءات معقدة، تضمن هذه الطة حلاً مستمراً للإزاحة في الكتلة مع تمثيل دقيق للحدود المنحنية.
4. التحقق العددي: تم اختبار الطريقة على ثلاث سيناريوهات:
   • هندسات مستقيمة قياسية (للتحقق من معدلات التقارب).
   • هندسات منحنية مع تمثيل هندسي دقيق (أسطوانات).
   • هندسات منحنية (كرات) مُقسمة إلى مضلعات عشوائية غير مستوية باستخدام تقريبات هندسية خطية وتربيعية.

النتائج
تؤكد التجارب العددية التوقعات النظرية:

• معدلات التقارب: بالنسبة لكل من النطاقات المستوية والمنحنية، تحقق الطريقة معدلات تقارب مثلى: $O(h^{k+1})$ في معيار $L^2$ و $O(h^k)$ في شبه معيار $H^1$ لدرجة متعدد الحدود $k$.
• أداء الحدود المنحنية: في حالة الأسطوانة ذات التمثيل الهندسي المنحني الدقيق، تحافظ الطريقة على المعدلات المثلى، متفوقة على مخططات العناصر المحدودة القياسية من الدرجة الثانية على الشبكات رباعية الأوجه التي تعاني من أخطاء التقريب الهندسي ($O(h^2)$ و $O(h^{3/2})$).
• حدود التقريب الهندسي: في مثال الكرة، تتعامل الطريقة بنجاح مع التقطيعات المضلعية العشوائية. ومع ذلك، لاحظ المؤلفون أنه بالنسبة لـ $k=2$، لا يتم استعادة معدل التقارب الأمثل إلا إذا كان التقريب الهندسي دقيقاً بما يكفي. عند استخدام تقريب هندسي تربيعي (Quad)، يُظهر خطأ $L^2$ في البداية رتبة تقارب أعلى ولكنه يستقر في النهاية. ويعزو المؤلفون ذلك إلى أن خطأ التقريب الهندسي (تحديداً أخطاء المساحة السطحية والحجم) يصبح مهيمناً، مشيرين إلى أن أساس "السرنديبتي" (serendipity basis) المستخدم لا يضمن خطأ هندسياً بمقدار $O(h^3)$ مطلوب للتقارب الأمثل في $L^2$ مع عناصر $k=2$.

الأهمية والادعاءات
تزعم الورقة أن طريقة C-NC VEM المقترحة توفر إطار عمل مرناً وقوياً لمسائل المرونة ثلاثية الأبعاد على النطاقات المنحنية. تكمن أهميتها الأساسية في القدرة على تقديم حل إزاحة مستمر (وهو أمر ضروري لميكانيكا المواد الصلبة) مع تمثيل دقيق للحدود المنحنية باستخدام وجوه غير متوافقة، وهو مزيج كان يصعب تحقيقه سابقاً باستخدام طرق VEM أو FEM القياسية. يؤكد المؤلفون أنه بينما تُدخل الطريقة تقريباً في إسقاط التكاملات الحدية على الوجوه المنحنية، فإن هذا لا يخل باستقرار أو معدلات التقارب المثلى للطريقة، بشرط أن يكون التقريب الهندسي ملائماً. يعمل هذا العمل كإثبات مفهوم للتعامل مع الهندسات ثلاثية الأبعاد المعقدة دون اللجوء إلى حلول غير فيزيائية غير مستمرة أو إنشاءات "سيد وعبد" معقدة للغاية.