Conforming/Non-conforming Virtual Elements and application to elasticity problems in curved three-dimensional domains

Resumen Técnico: Elementos Virtuales Conformes/No Conformes y Aplicación a Problemas de Elasticidad en Dominios Tridimensionales Curvos

Planteamiento del Problema
El Método de Elementos Virtuales (VEM) se ha consolidado como un marco flexible para la discretización de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) en mallas polipodales generales. Sin embargo, persisten desafíos significativos al aplicar el VEM a problemas tridimensionales que involucran dominios curvos. Aunque el VEM en 2D con fronteras curvas está bien desarrollado, las implementaciones en 3D enfrentan dificultades para definir espacios en superficies curvas y calcular las proyecciones necesarias. Los enfoques existentes suelen depender de construcciones complejas maestro-esclavo, imposición débil de condiciones de frontera o formulaciones mixtas con variables discontinuas. En el contexto de la mecánica de sólidos, los métodos que generan campos de desplazamiento no continuos son físicamente no físicos. Además, las mallas poliedrales estándar con aristas rectas introducen errores de aproximación geométrica que pueden dominar el error de la solución para esquemas de orden superior.

Metodología
Los autores proponen un nuevo Método de Elementos Virtuales Conformes/No Conformes (C-NC) que permite al usuario designar selectivamente las caras de la malla como conformes o no conformes.

• Construcción del Espacio Híbrido: El método define un espacio virtual local $W^k_h(E)$ sobre un poliedro $E$ dividiendo sus caras de frontera en un conjunto conforme ($\mathcal{F}^c_E$) y un conjunto no conforme ($\mathcal{F}^n_E$).
  • En las caras conformes, la solución es continua ($C^0$) y el espacio sigue la definición nodal estándar del VEM (mejorada con momentos polinomiales).
  • En las caras no conformes, se permite que la solución sea discontinua, y la derivada normal está restringida a ser un polinomio de grado $k-1$.
  • El espacio global se construye imponiendo continuidad únicamente a través de las caras conformes. Este elemento "híbrido" se construye mediante problemas de Poisson locales con condiciones de frontera mixtas de Dirichlet (en caras conformes) y Neumann (en caras no conformes).
• Grados de Libertad (DoFs): El espacio se define mediante evaluaciones puntuales en los vértices y puntos de arista (en fronteras conformes), y momentos de la función y su derivada normal en las caras. Crucialmente, se demuestra que las proyecciones requeridas para la matriz de rigidez (específicamente las proyecciones $L^2$ y de energía) son computables únicamente a partir de estos DoFs, incluso con las condiciones de frontera mixtas.
• Aplicación a Dominios Curvos: El método se aplica a la elasticidad lineal 3D en dominios curvos. La estrategia implica:
  • Utilizar caras planas y conformes para el interior del dominio para garantizar la continuidad global del desplazamiento.
  • Utilizar caras curvas y no conformes exclusivamente en la frontera $\partial\Omega$ para representar la geometría exacta.
  • Definir el espacio virtual en caras curvas mediante polinomios mapeados a través de una parametrización suave $\gamma_F$.
  • Aproximar las integrales de frontera en los operadores de proyección utilizando los DoFs no conformes, reconociendo esto como una aproximación necesaria cuando la derivada normal de la proyección no pertenece al espacio polinomial mapeado.

Contribuciones Clave

1. Nuevo Elemento Híbrido: El artículo introduce una formulación VEM donde la naturaleza conforme/no conforme de las caras es una elección definida por el usuario, lo que permite un elemento "híbrido" que recupera el VEM conforme clásico, el VEM no conforme o una mezcla de ambos.
2. Análisis Teórico: Los autores proporcionan un análisis riguroso de estabilidad y convergencia para el espacio C-NC. Demuestran la equivalencia entre la seminorma $H^1$ y la estabilización basada en DoFs, establecen estimaciones de interpolación y derivan cotas de error óptimas para el problema de elasticidad lineal.
3. Elasticidad 3D Curva: El artículo demuestra una metodología práctica para resolver problemas de elasticidad 3D en dominios curvos con representación de geometría exacta. A diferencia de enfoques previos de VEM curvo en 3D que resultan en desplazamientos discontinuos o requieren construcciones complejas, este método garantiza un campo de desplazamiento continuo en el volumen mientras captura con precisión la frontera curva.
4. Validación Numérica: El método se prueba en tres escenarios:
   • Geometrías rectas estándar (validando tasas de convergencia).
   • Geometrías curvas con aproximación exacta de la malla (cilindros).
   • Geometrías curvas (esferas) teseladas con polígonos arbitrarios no planares utilizando aproximaciones geométricas lineales y cuadráticas.

Resultados
Los experimentos numéricos confirman las predicciones teóricas:

• Tasas de Convergencia: Tanto para dominios planares como curvos, el método alcanza tasas de convergencia óptimas: $O(h^{k+1})$ en la norma $L^2$ y $O(h^k)$ en la seminorma $H^1$ para el grado polinomial $k$.
• Rendimiento en Frontera Curva: En el caso de un cilindro con representación exacta de la frontera curva, el método mantiene tasas óptimas, superando a los esquemas estándar de elementos finitos de segundo orden en mallas tetraédricas que sufren errores de aproximación geométrica ($O(h^2)$ y $O(h^{3/2})$).
• Límites de Aproximación Geométrica: Para el ejemplo de la esfera, el método maneja con éxito teselaciones poligonales arbitrarias. Sin embargo, los autores observan que para $k=2$, la tasa de convergencia óptima solo se recupera si la aproximación geométrica es suficientemente precisa. Al utilizar una aproximación geométrica cuadrática (Quad), el error $L^2$ inicialmente muestra un orden de convergencia superior pero eventualmente se estabiliza. Los autores atribuyen esto a que el error de aproximación geométrica (específicamente los errores de área superficial y volumen) se vuelve dominante, señalando que la base de serendipia utilizada no garantiza el error geométrico $O(h^3)$ requerido para una convergencia $L^2$ óptima con elementos de $k=2$.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que el VEM C-NC propuesto ofrece un marco flexible y robusto para problemas de elasticidad 3D en dominios curvos. Su principal significado radica en la capacidad de entregar una solución de desplazamiento continua (esencial para la mecánica de sólidos) mientras representa exactamente las fronteras curvas utilizando caras no conformes, una combinación que previamente era difícil de lograr con enfoques estándar de VEM o FEM. Los autores enfatizan que, aunque el método introduce una aproximación en la proyección de integrales de frontera en caras curvas, esto no compromete la estabilidad ni las tasas de convergencia óptimas del método, siempre que la aproximación geométrica sea adecuada. La obra sirve como una prueba de concepto para manejar geometrías 3D complejas sin recurrir a soluciones discontinuas no físicas o a construcciones maestro-esclavo excesivamente complejas.