Conforming/Non-conforming Virtual Elements and application to elasticity problems in curved three-dimensional domains

技術的概要：適合・非適合仮想要素法および曲がった三次元領域における弾性問題への適用

問題提起
仮想要素法（VEM）は、一般的な多面体メッシュ上で偏微分方程式（PDE）を離散化するための柔軟な枠組みとして確立されています。しかし、曲がった領域を含む三次元問題に VEM を適用する際には、依然として重大な課題が残されています。曲がった境界を有する 2 次元 VEM はよく発展していますが、3 次元の実装においては、曲面上での空間の定義や必要な射影の計算において困難に直面しています。既存のアプローチは、しばしば複雑なマスタースレーブ構成、境界条件の弱い強制、または不連続変数を伴う混合定式化に依存しています。固体力学の文脈において、不連続な変位場をもたらす方法は物理的に非現実的です。さらに、直線辺を持つ標準的な多面体メッシュは、高次スキームの場合、解の誤差を支配し得る幾何学的近似誤差を導入します。

手法
著者らは、メッシュ面を適合または非適合のいずれかとしてユーザーが選択的に指定することを可能にする、新規の適合・非適合（C-NC）仮想要素法を提案します。

• ハイブリッド空間の構築: この手法は、多面体 $E$ 上の局所仮想空間 $W^k_h(E)$ を、その境界面を適合集合（$\mathcal{F}^c_E$）と非適合集合（$\mathcal{F}^n_E$）に分割することで定義します。
  • 適合面上では、解は連続（$C^0$）であり、空間は標準的な節点 VEM の定義（多項式モーメントで強化されたもの）に従います。
  • 非適合面上では、解が不連続であることが許容され、法線微分は次数 $k-1$ の多項式に制限されます。
  • 大域空間は、適合面でのみ連続性を強制することで構築されます。この「ハイブリッド」要素は、適合面上でのディリクレ境界条件と非適合面上でのノイマン境界条件を伴う混合境界条件を用いた局所ポアソン問題を通じて構築されます。
• 自由度（DoFs）: 空間は、適合境界上の頂点および辺点における点ごとの評価、および面上の関数とその法線微分のモーメントによって定義されます。重要なのは、剛性行列に必要な射影（特に $L^2$ 射影とエネルギー射影）が、混合境界条件であっても、これらの DoFs のみから計算可能であることが示されている点です。
• 曲がった領域への適用: この手法は、曲がった領域における 3 次元線形弾性問題に適用されます。戦略は以下の通りです。
  • 大域変位の連続性を確保するために、領域の内部には平面の適合面を使用します。
  • 正確な幾何形状を表すために、境界 $\partial\Omega$ 上のみで曲がった非適合面を使用します。
  • 滑らかなパラメータ化 $\gamma_F$ を介した写像多項式を用いて、曲面上の仮想空間を定義します。
  • 射影の法線微分が写像多項式空間に含まれない場合に必要となる近似として、投影演算子における境界積分を非適合 DoFs を用いて近似します。

主要な貢献

1. 新規ハイブリッド要素: 本論文は、面の適合・非適合の性質がユーザー定義の選択である VEM 定式化を導入し、古典的な適合 VEM、非適合 VEM、またはその両方の混合を回復する「ハイブリッド」要素を可能にします。
2. 理論的解析: 著者らは、C-NC 空間に対する厳密な安定性と収束性の解析を提供します。$H^1$-半ノルムと DoF ベースの安定化の同等性を証明し、補間評価を確立し、線形弾性問題に対する最適誤差限界を導出します。
3. 曲がった 3 次元弾性: 本論文は、正確な幾何形状表現を伴う曲がった領域における 3 次元弾性問題を解くための実用的な手法を実証します。不連続な変位をもたらすか、複雑な構成を必要とする以前の 3 次元曲がった VEM アプローチとは異なり、この手法はバルク内で連続な変位場を保証しつつ、曲がった境界を正確に捉えます。
4. 数値的検証: この手法は、以下の 3 つのシナリオでテストされています。
   • 標準的な直線幾何形状（収束率の検証）。
   • 正確なメッシュ近似を伴う曲がった幾何形状（円筒）。
   • 線形および二次の幾何近似を用いて、任意の非平面多角形で分割された曲がった幾何形状（球）。

結果
数値実験は理論的予測を確認しました。

• 収束率: 平面および曲がった領域の両方において、この手法は最適収束率を達成します。多項式次数 $k$ に対して、$L^2$-ノルムでは $O(h^{k+1})$、$H^1$-半ノルムでは $O(h^k)$ です。
• 曲がった境界の性能: 正確な曲がった境界表現を有する円筒の場合、この手法は最適率を維持し、幾何学的近似誤差（$O(h^2)$ および $O(h^{3/2})$）に悩まされる四面体メッシュ上の標準的な二次有限要素法を上回ります。
• 幾何学的近似の限界: 球の例において、この手法は任意の多角形分割を成功裡に処理します。しかし、著者らは、$k=2$ の場合、幾何学的近似が十分に正確である場合にのみ最適収束率が回復することを観察しました。二次幾何近似（Quad）を使用すると、$L^2$ 誤差は当初より高次の収束を示しますが、やがて頭打ちになります。著者らはこれを、幾何学的近似誤差（特に表面積と体積の誤差）が支配的になることに起因すると指摘し、$k=2$ の要素に対する最適 $L^2$ 収束に必要な $O(h^3)$ の幾何誤差を保証するシレンディティ基底が使用されていないことを指摘しています。

意義と主張
本論文は、提案された C-NC VEM が、曲がった領域における 3 次元弾性問題に対する柔軟かつ堅牢な枠組みを提供すると主張しています。その主な意義は、連続な変位解を提供する能力（固体力学に不可欠）と、非適合面を用いて曲がった境界を正確に表現する能力の組み合わせにあり、これは従来の標準的な VEM や FEM アプローチでは以前は達成が困難でした。著者らは、この手法が曲面上の境界積分の射影に近似を導入するものの、幾何学的近似が適切であれば、このことが手法の安定性や最適収束率を損なうことはないことを強調しています。この研究は、非物理的な不連続解や過度に複雑なマスタースレーブ構成に頼ることなく、複雑な 3 次元幾何形状を処理する概念実証として機能します。