Conforming/Non-conforming Virtual Elements and application to elasticity problems in curved three-dimensional domains

Résumé technique : Éléments virtuels conformes/non-conformes et application aux problèmes d'élasticité dans des domaines tridimensionnels courbes

Énoncé du problème
La Méthode des Éléments Virtuels (MEV) s'est imposée comme un cadre flexible pour la discrétisation des Équations aux Dérivées Partielles (EDP) sur des maillages polytopaux généraux. Cependant, des défis majeurs subsistent dans l'application de la MEV aux problèmes tridimensionnels impliquant des domaines courbes. Si la MEV 2D avec des frontières courbes est bien développée, les implémentations 3D rencontrent des difficultés pour définir des espaces sur des surfaces courbes et calculer les projections nécessaires. Les approches existantes reposent souvent sur des constructions maître-esclave complexes, une imposition faible des conditions aux limites, ou des formulations mixtes avec des variables discontinues. Dans le contexte de la mécanique des solides, les méthodes produisant des champs de déplacement non continus sont physiquement non réalistes. De plus, les maillages polyédriques standards à arêtes droites introduisent des erreurs d'approximation géométrique qui peuvent dominer l'erreur de solution pour les schémas d'ordre supérieur.

Méthodologie
Les auteurs proposent une nouvelle Méthode des Éléments Virtuels Conformes/Non-conformes (C-NC) permettant à l'utilisateur de désigner sélectivement les faces du maillage comme conformes ou non-conformes.

• Construction d'un espace hybride : La méthode définit un espace virtuel local $W^k_h(E)$ sur un polyèdre $E$ en divisant ses faces frontières en un ensemble conforme ($\mathcal{F}^c_E$) et un ensemble non-conforme ($\mathcal{F}^n_E$).
  • Sur les faces conformes, la solution est continue ($C^0$), et l'espace suit la définition nodale standard de la MEV (renforcée par des moments polynomiaux).
  • Sur les faces non-conformes, la solution est autorisée à être discontinue, et la dérivée normale est contrainte à être un polynôme de degré $k-1$.
  • L'espace global est construit en imposant la continuité uniquement à travers les faces conformes. Cet élément « hybride » est construit via des problèmes de Poisson locaux avec des conditions aux limites mixtes de Dirichlet (sur les faces conformes) et de Neumann (sur les faces non-conformes).
• Degrés de liberté (DoFs) : L'espace est défini par des évaluations ponctuelles aux sommets et aux points d'arêtes (sur les frontières conformes), et par des moments de la fonction et de sa dérivée normale sur les faces. Crucialement, il est démontré que les projections requises pour la matrice de rigidité (spécifiquement les projections $L^2$ et d'énergie) sont calculables uniquement à partir de ces DoFs, même avec des conditions aux limites mixtes.
• Application aux domaines courbes : La méthode est appliquée à l'élasticité linéaire 3D sur des domaines courbes. La stratégie consiste à :
  • Utiliser des faces planes et conformes pour l'intérieur du domaine afin d'assurer la continuité globale du déplacement.
  • Utiliser des faces courbes et non-conformes exclusivement sur la frontière $\partial\Omega$ pour représenter la géométrie exacte.
  • Définir l'espace virtuel sur les faces courbes en utilisant des polynômes transformés via une paramétrisation lisse $\gamma_F$.
  • Approximer les intégrales de frontière dans les opérateurs de projection en utilisant les DoFs non-conformes, reconnaissant cela comme une approximation nécessaire lorsque la dérivée normale de la projection n'appartient pas à l'espace polynomial transformé.

Contributions clés

1. Nouvel élément hybride : L'article introduit une formulation MEV où la nature conforme/non-conforme des faces est un choix défini par l'utilisateur, permettant un élément « hybride » qui retrouve la MEV conforme classique, la MEV non-conforme, ou un mélange des deux.
2. Analyse théorique : Les auteurs fournissent une analyse rigoureuse de la stabilité et de la convergence pour l'espace C-NC. Ils prouvent l'équivalence entre la semi-norme $H^1$ et la stabilisation basée sur les DoFs, établissent des estimations d'interpolation, et dérivent des bornes d'erreur optimales pour le problème d'élasticité linéaire.
3. Élasticité 3D courbe : L'article démontre une méthodologie pratique pour résoudre des problèmes d'élasticité 3D sur des domaines courbes avec une représentation géométrique exacte. Contrairement aux approches MEV 3D courbes précédentes qui aboutissent à des déplacements discontinus ou nécessitent des constructions complexes, cette méthode garantit un champ de déplacement continu dans le volume tout en capturant avec précision la frontière courbe.
4. Validation numérique : La méthode est testée sur trois scénarios :
   • Géométries droites standards (validation des taux de convergence).
   • Géométries courbes avec approximation exacte du maillage (cylindres).
   • Géométries courbes (sphères) tessellées avec des polygones arbitraires non plans utilisant des approximations géométriques linéaires et quadratiques.

Résultats
Les expériences numériques confirment les prédictions théoriques :

• Taux de convergence : Pour les domaines plans et courbes, la méthode atteint des taux de convergence optimaux : $O(h^{k+1})$ dans la norme $L^2$ et $O(h^k)$ dans la semi-norme $H^1$ pour le degré polynomial $k$.
• Performance sur les frontières courbes : Dans le cas d'un cylindre avec une représentation exacte de la frontière courbe, la méthode maintient des taux optimaux, surpassant les schémas standards d'éléments finis d'ordre deux sur des maillages tétraédriques qui souffrent d'erreurs d'approximation géométrique ($O(h^2)$ et $O(h^{3/2})$).
• Limites de l'approximation géométrique : Pour l'exemple de la sphère, la méthode gère avec succès des tessellations polygonales arbitraires. Cependant, les auteurs observent que pour $k=2$, le taux de convergence optimal n'est récupéré que si l'approximation géométrique est suffisamment précise. Lors de l'utilisation d'une approximation géométrique quadratique (Quad), l'erreur $L^2$ montre initialement un ordre de convergence plus élevé mais finit par se stabiliser. Les auteurs attribuent cela à l'erreur d'approximation géométrique (spécifiquement les erreurs de surface et de volume) devenant dominante, notant que la base de type « serendipity » utilisée ne garantit pas l'erreur géométrique $O(h^3)$ requise pour une convergence $L^2$ optimale avec des éléments $k=2$.

Signification et affirmations
L'article affirme que la MEV C-NC proposée offre un cadre flexible et robuste pour les problèmes d'élasticité 3D sur des domaines courbes. Sa signification principale réside dans la capacité à fournir une solution de déplacement continue (essentielle pour la mécanique des solides) tout en représentant exactement les frontières courbes à l'aide de faces non-conformes, une combinaison qui était auparavant difficile à réaliser avec les approches MEV ou FEM standards. Les auteurs soulignent que si la méthode introduit une approximation dans la projection des intégrales de frontière sur les faces courbes, cela ne compromet ni la stabilité ni les taux de convergence optimaux de la méthode, à condition que l'approximation géométrique soit adéquate. Ce travail sert de preuve de concept pour la gestion de géométries 3D complexes sans recourir à des solutions discontinues non physiques ou à des constructions maître-esclave excessivement complexes.