Conforming/Non-conforming Virtual Elements and application to elasticity problems in curved three-dimensional domains

Technische Samenvatting: Conformerende/Niet-conformerende Virtuele Elementen en Toepassing op Elastischheidsproblemen in Gebogen Driedimensionale Domeinen

Probleemstelling
De Virtuele Elementenmethode (VEM) heeft zich gevestigd als een flexibel raamwerk voor het discretiseren van Partiële Differentiaalvergelijkingen (PDE's) op algemene polytopale roosters. Er blijven echter aanzienlijke uitdagingen bestaan bij het toepassen van VEM op driedimensionale problemen die gebogen domeinen betreffen. Waar 2D VEM met gebogen grenzen goed ontwikkeld is, ondervinden 3D-implementaties moeilijkheden bij het definiëren van ruimten op gebogen oppervlakken en het berekenen van benodigde projecties. Bestaande benaderingen vertrouwen vaak op complexe master-slave constructies, zwakke afdwinging van randvoorwaarden, of gemengde formuleringen met discontinu variabele. In de context van vastestoffmechanica zijn methoden die niet-continue verplaatsingsvelden opleveren fysisch niet-fysisch. Bovendien introduceren standaard polyhedrale roosters met rechte randen geometrische benaderingsfouten die de oplossingsfout voor hogere-orde schema's kunnen overheersen.

Methodologie
De auteurs stellen een nieuwe Conformerende/Niet-conformerende (C-NC) Virtuele Elementenmethode voor die de gebruiker in staat stelt om roostervlakken selectief aan te duiden als ofwel conformerend ofwel niet-conformerend.

• Hybride Ruimteconstructie: De methode definieert een lokale virtuele ruimte $W^k_h(E)$ op een polyhedron $E$ door zijn grensvlakken te splitsen in een conformerende set ($\mathcal{F}^c_E$) en een niet-conformerende set ($\mathcal{F}^n_E$).
  • Op conformerende vlakken is de oplossing continu ($C^0$), en volgt de ruimte de standaard nodale VEM-definitie (verrijkt met polynoommomenten).
  • Op niet-conformerende vlakken mag de oplossing discontinu zijn, en wordt de normale afgeleide beperkt tot een polynoom van graad $k-1$.
  • De globale ruimte wordt geconstrueerd door continuïteit uitsluitend af te dwingen over de conformerende vlakken. Dit "hybride" element wordt gebouwd via lokale Poisson-problemen met gemengde Dirichlet- (op conformerende vlakken) en Neumann- (op niet-conformerende vlakken) randvoorwaarden.
• Vrijheidsgraden (DoFs): De ruimte wordt gedefinieerd door puntsgewijze evaluaties op hoekpunten en randpunten (op conformerende grenzen), en momenten van de functie en haar normale afgeleide op vlakken. Cruciaal wordt aangetoond dat de projecties die vereist zijn voor de stijfheidsmatrix (specifiek de $L^2$- en energieprojecties) uitsluitend berekenbaar zijn uit deze DoFs, zelfs met de gemengde randvoorwaarden.
• Toepassing op Gebogen Domeinen: De methode wordt toegepast op 3D lineaire elastischheid op gebogen domeinen. De strategie omvat:
  • Het gebruik van planaire, conformerende vlakken voor het interieur van het domein om globale verplaatsingscontinuïteit te waarborgen.
  • Het uitsluitend gebruik van gebogen, niet-conformerende vlakken op de grens $\partial\Omega$ om de exacte geometrie weer te geven.
  • Het definiëren van de virtuele ruimte op gebogen vlakken met behulp van afgebeelde polynomen via een gladde parametrisatie $\gamma_F$.
  • Het benaderen van de randintegralen in de projectie-operatoren met behulp van de niet-conformerende DoFs, waarbij dit wordt erkend als een noodzakelijke benadering wanneer de normale afgeleide van de projectie niet in de afgebeelde polynoomruimte valt.

Belangrijkste Bijdragen

1. Nieuwe Hybride Element: Het artikel introduceert een VEM-formulering waarbij de conformerende/niet-conformerende aard van vlakken een door de gebruiker gedefinieerde keuze is, waardoor een "hybride" element mogelijk wordt dat klassieke conformerende VEM, niet-conformerende VEM, of een mix van beide herstelt.
2. Theoretische Analyse: De auteurs leveren een rigoureuze stabiliteits- en convergentieanalyse voor de C-NC-ruimte. Zij bewijzen de equivalentie tussen de $H^1$-seminorm en de DoF-gebaseerde stabilisatie, vestigen interpolatieschattingen, en leiden optimale foutgrenzen af voor het lineaire elastischheidsprobleem.
3. Gebogen 3D Elastischheid: Het artikel demonstreert een praktische methodologie voor het oplossen van 3D elastischheidsproblemen op gebogen domeinen met exacte geometrische representatie. In tegenstelling tot eerdere 3D gebogen VEM-benaderingen die leiden tot discontinu verplaatsingen of complexe constructies vereisen, garandeert deze methode een continu verplaatsingsveld in het bulkvolume terwijl de gebogen grens nauwkeurig wordt vastgelegd.
4. Numerieke Validatie: De methode wordt getest op drie scenario's:
   • Standaard rechte geometrieën (validatie van convergentiesnelheden).
   • Gebogen geometrieën met exacte roosterbenadering (cilinders).
   • Gebogen geometrieën (bollen) getesselleerd met willekeurige, niet-planaire polygonen met behulp van lineaire en kwadratische geometrische benaderingen.

Resultaten
Numerieke experimenten bevestigen de theoretische voorspellingen:

• Convergentiesnelheden: Voor zowel planaire als gebogen domeinen bereikt de methode optimale convergentiesnelheden: $O(h^{k+1})$ in de $L^2$-norm en $O(h^k)$ in de $H^1$-seminorm voor polynoomgraad $k$.
• Prestaties bij Gebogen Grenzen: In het geval van een cilinder met exacte gebogen grensrepresentatie behoudt de methode optimale snelheden en presteert deze beter dan standaard tweede-orde eindige-elementenschema's op tetraëdrische roosters, die lijden onder geometrische benaderingsfouten ($O(h^2)$ en $O(h^{3/2})$).
• Grenzen van Geometrische Benadering: Voor het bolvoorbeeld slaagt de methode erin willekeurige polygonale tessellaties te verwerken. De auteurs merken echter op dat voor $k=2$ de optimale convergentiesnelheid slechts wordt hersteld als de geometrische benadering voldoende nauwkeurig is. Bij gebruik van een kwadratische geometrische benadering (Quad) vertoont de $L^2$-fout aanvankelijk een hogere orde van convergentie, maar bereikt uiteindelijk een plateau. De auteurs schrijven dit toe aan de geometrische benaderingsfout (specifiek de oppervlakte- en volumefouten) die dominant wordt, en merken op dat het gebruikte serendipity-basis niet de $O(h^3)$ geometrische fout garandeert die vereist is voor optimale $L^2$-convergentie met $k=2$ elementen.

Betekenis en Aanspraken
Het artikel beweert dat de voorgestelde C-NC VEM een flexibel en robuust raamwerk biedt voor 3D elastischheidsproblemen op gebogen domeinen. De primaire betekenis ligt in het vermogen om een continue verplaatsingsoplossing te leveren (essentieel voor vastestoffmechanica) terwijl gebogen grenzen exact worden weergegeven met behulp van niet-conformerende vlakken, een combinatie die voorheen moeilijk te bereiken was met standaard VEM- of FEM-benaderingen. De auteurs benadrukken dat hoewel de methode een benadering introduceert in de projectie van randintegralen op gebogen vlakken, dit de stabiliteit of de optimale convergentiesnelheden van de methode niet in gevaar brengt, mits de geometrische benadering adequaat is. Het werk dient als een bewijs van concept voor het hanteren van complexe 3D-geometrieën zonder terug te grijpen naar niet-fysische discontinu oplossingen of uiterst complexe master-slave constructies.