Conforming/Non-conforming Virtual Elements and application to elasticity problems in curved three-dimensional domains

Resumo Técnico: Elementos Virtuais Conformantes/Não Conformantes e Aplicação a Problemas de Elasticidade em Domínios Tridimensionais Curvos

Enunciação do Problema
O Método de Elementos Virtuais (VEM) estabeleceu-se como um quadro flexível para a discretização de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) em malhas polipodais gerais. No entanto, desafios significativos permanecem na aplicação do VEM a problemas tridimensionais envolvendo domínios curvos. Embora o VEM 2D com fronteiras curvas seja bem desenvolvido, as implementações 3D enfrentam dificuldades na definição de espaços em superfícies curvas e no cálculo de projeções necessárias. Abordagens existentes frequentemente dependem de construções complexas mestre-escravo, aplicação fraca de condições de contorno ou formulações mistas com variáveis descontínuas. No contexto da mecânica dos sólidos, métodos que produzem campos de deslocamento não contínuos são fisicamente não físicos. Além disso, malhas poliedrais padrão com arestas retas introduzem erros de aproximação geométrica que podem dominar o erro da solução para esquemas de ordem superior.

Metodologia
Os autores propõem um novo Método de Elementos Virtuais Conformante/Não Conformante (C-NC) que permite ao usuário designar seletivamente as faces da malha como conformantes ou não conformantes.

• Construção de Espaço Híbrido: O método define um espaço virtual local $W^k_h(E)$ em um poliedro $E$ dividindo suas faces de fronteira em um conjunto conformante ($\mathcal{F}^c_E$) e um conjunto não conformante ($\mathcal{F}^n_E$).
  • Em faces conformantes, a solução é contínua ($C^0$), e o espaço segue a definição padrão nodal do VEM (aperfeiçoada com momentos polinomiais).
  • Em faces não conformantes, a solução é permitida ser descontínua, e a derivada normal é constrangida a ser um polinômio de grau $k-1$.
  • O espaço global é construído impondo continuidade apenas através das faces conformantes. Este elemento "híbrido" é construído via problemas locais de Poisson com condições de contorno mistas de Dirichlet (nas faces conformantes) e Neumann (nas faces não conformantes).
• Graus de Liberdade (DoFs): O espaço é definido por avaliações pontuais nos vértices e pontos de aresta (nas fronteiras conformantes), e momentos da função e de sua derivada normal nas faces. Crucialmente, as projeções requeridas para a matriz de rigidez (especificamente as projeções $L^2$ e de energia) são mostradas como computáveis exclusivamente a partir desses DoFs, mesmo com as condições de contorno mistas.
• Aplicação a Domínios Curvos: O método é aplicado à elasticidade linear 3D em domínios curvos. A estratégia envolve:
  • Usar faces planas e conformantes para o interior do domínio para garantir a continuidade global do deslocamento.
  • Usar faces curvas e não conformantes exclusivamente na fronteira $\partial\Omega$ para representar a geometria exata.
  • Definir o espaço virtual em faces curvas usando polinômios mapeados via uma parametrização suave $\gamma_F$.
  • Aproximar as integrais de fronteira nos operadores de projeção usando os DoFs não conformantes, reconhecendo isso como uma aproximação necessária quando a derivada normal da projeção não está no espaço polinomial mapeado.

Principais Contribuições

1. Novo Elemento Híbrido: O artigo introduz uma formulação VEM onde a natureza conformante/não conformante das faces é uma escolha definida pelo usuário, permitindo um elemento "híbrido" que recupera o VEM conformante clássico, o VEM não conformante, ou uma mistura de ambos.
2. Análise Teórica: Os autores fornecem uma análise rigorosa de estabilidade e convergência para o espaço C-NC. Eles provam a equivalência entre a seminorma $H^1$ e a estabilização baseada em DoFs, estabelecem estimativas de interpolação e derivam limites de erro ótimos para o problema de elasticidade linear.
3. Elasticidade 3D Curva: O artigo demonstra uma metodologia prática para resolver problemas de elasticidade 3D em domínios curvos com representação de geometria exata. Diferentemente de abordagens anteriores de VEM curvo 3D que resultam em deslocamentos descontínuos ou exigem construções complexas, este método garante um campo de deslocamento contínuo no volume enquanto captura com precisão a fronteira curva.
4. Validação Numérica: O método é testado em três cenários:
   • Geometrias retas padrão (validando taxas de convergência).
   • Geometrias curvas com aproximação de malha exata (cilindros).
   • Geometrias curvas (esferas) tessaladas com polígonos arbitrários não planares usando aproximações geométricas lineares e quadráticas.

Resultados
Experimentos numéricos confirmam as previsões teóricas:

• Taxas de Convergência: Para domínios planos e curvos, o método atinge taxas de convergência ótimas: $O(h^{k+1})$ na norma $L^2$ e $O(h^k)$ na seminorma $H^1$ para grau polinomial $k$.
• Desempenho em Fronteira Curva: No caso de um cilindro com representação exata da fronteira curva, o método mantém taxas ótimas, superando esquemas padrão de elementos finitos de segunda ordem em malhas tetraédricas que sofrem com erros de aproximação geométrica ($O(h^2)$ e $O(h^{3/2})$).
• Limites de Aproximação Geométrica: Para o exemplo da esfera, o método lida com sucesso com tesselações poligonais arbitrárias. No entanto, os autores observam que para $k=2$, a taxa de convergência ótima é recuperada apenas se a aproximação geométrica for suficientemente precisa. Ao usar uma aproximação geométrica quadrática (Quad), o erro $L^2$ inicialmente mostra uma ordem de convergência mais alta, mas eventualmente estabiliza. Os autores atribuem isso ao erro de aproximação geométrica (especificamente os erros de área de superfície e volume) tornando-se dominante, notando que a base de serendipidade usada não garante o erro geométrico $O(h^3)$ necessário para a convergência $L^2$ ótima com elementos de $k=2$.

Significado e Alegações
O artigo alega que o VEM C-NC proposto oferece um quadro flexível e robusto para problemas de elasticidade 3D em domínios curvos. Seu principal significado reside na capacidade de entregar uma solução de deslocamento contínua (essencial para a mecânica dos sólidos) enquanto representa exatamente fronteiras curvas usando faces não conformantes, uma combinação que era anteriormente difícil de alcançar com abordagens padrão de VEM ou FEM. Os autores enfatizam que, embora o método introduza uma aproximação na projeção de integrais de fronteira em faces curvas, isso não compromete a estabilidade ou as taxas de convergência ótimas do método, desde que a aproximação geométrica seja adequada. O trabalho serve como uma prova de conceito para lidar com geometrias 3D complexas sem recorrer a soluções descontínuas não físicas ou construções mestre-escravo excessivamente complexas.