Can $π$ generate itself? A Monte Carlo analysis of 314 trillion digits

تخيل أنك تحاول تخمين شكل دائرة، لكن ليس لديك مسطرة، ولا فرجار، ولا حتى قطعة ورق. كل ما تملكه هو كيس من الكرات الملونة وصندوق مربع. هذا هو جوهر خدعة شهيرة في الرياضيات تسمى محاكاة "مونت كارلو". الفكرة بسيطة: إذا رميت آلاف الكرات عشوائياً داخل صندوق مربع يحتوي على ربع دائرة مرسومة بداخله، فإن نسبة الكرات التي تسقط داخل المنحنى إلى إجمالي عدد الكرات ستخبرك بقيمة $\pi$ (الرقم الذي يربط بين قطر الدائرة ومحيطها). وكلما رميت كرات أكثر، اقتربت تخمينك من الإجابة الحقيقية. عادةً، للقيام بذلك، تحتاج إلى آلة لتوليد أرقام عشوائية حقاً لتحديد مكان سقوط كل كرة. ولكن ماذا لو لم يكن لديك مولد أرقام عشوائية؟ ماذا لو حاولت استخدام أرقام $\pi$ نفسها — الرقم الذي تحاول إيجاده بالفعل — كمصدر لكراتك "العشوائية"؟ يبدو هذا كأنه مفارقة، مثل محاولة رفع نفسك عن طريق شد رباط حذائك، ولكن هذا هو بالضبط السؤال الغريب الذي قرر فريق من العلماء اختباره.

هذه الورقة البحثية، التي كتبها باحثون من مختبرات "غران ساسو" الوطنية في إيطاليا، تستكشف فكرة مذهلة باستخدام مجموعة بيانات ضخمة: أول 314 تريليون رقم عشري لـ $\pi$. لفهم الرهان، نحتاج إلى معرفة القليل عن طبيعة $\pi$. إنه رقم حتمي، مما يعني أن أرقامه ليست عشوائية على الإطلاق؛ فهي ثابتة ومحسوبة وفق قاعدة رياضية صارمة. ومع ذلك، لقرون مضت، اشتبه الرياضيون في أن هذه الأرقام تبدو عشوائية. فهي تبدو "طبيعية"، وهي كلمة منمقة تعني أن كل تركيبة ممكنة من الأرقام (مثل "123" أو "999") تظهر بنفس التكرار، تماماً كما لو كنت ترمي نردًا عادلاً إلى الأبد. إذا كانت $\pi$ طبيعية حقاً، فيجب أن تكون أرقامها جيدة بما يكفي لتعمل كمصدر للأرقام العشوائية لمحاكاة الكمبيوتر. أراد الباحثون معرفة ما إذا كان بإمكانهم استخدام أرقام $\pi$ لإجراء محاكاة مونت كارلو تنجح في "إعادة اكتشاف" $\pi$ دون استخدام أي أرقام عشوائية خارجية.

قام الفريق بأخذ مجموعة البيانات القياسية المكونة من 314 تريليون رقم، والتي تم حسابها في أواخر عام 2025، وعاملها كأنها تدفق هائل من الأرقام. قاموا بتقطيع هذا التدفق إلى كتل صغيرة مكونة من 14 رقماً في كل مرة. أصبح أول 7 أرقام من الكتلة يمثل الإحداثي "x" لنقطة ما، والـ 7 أرقام التالية أصبحت الإحداثي "y". تخيل هذه الإحداثيات كمكان سقوط سهم رُمي على هدف مربع. ومن خلال القيام بذلك لكل كتلة ممكنة، أنشأوا حوالي 22.4 تريليون "سهماً" (أو نقاط بيانات) لرميها على هدفهم الافتراضي. ثم قاموا بعدّ عدد النقاط التي سقطت داخل ربع الدائرة التخيلي.

كانت النتيجة نجاحاً مذهلاً. فعندما قاموا بمعالجة الأرقام، أنتجت المحاكاة تقديراً لـ $\pi$ يساوي 3.141593. وهذا يطابق أول سبعة أرقام عشرية للقيمة الفعلية لـ $\pi$ تماماً، وذلك ضمن هامش الخطأ المتوقع لمحاكاة بهذا الحجم. يشير المؤلفون إلى أن هذا لا يثبت أن $\pi$ "طبيعية" رياضياً أو أن أرقامها مستقلة تماماً عن بعضها البعض (بما أنها ناتجة عن قاعدة ثابتة، فلا يمكن أن تكون مستقلة حقاً). ومع ذلك، توفر التجربة دليلاً تجريبياً قوياً على أن أرقام $\pi$، من الناحية العملية، تتصرف مثل الأرقام العشوائية لدرما يمكن استخدامها لتوليد محاكاة مونت كارلو تنجح في استعادة الرقم نفسه.

بكلمات أبسط، تظهر الورقة البحثية أن $\pi$ يمكنها، بطريقة ما، "توليد نفسها". الأمر يشبه أن تأخذ قاموساً، وتقطع كل حرف فيه، وتستخدم تلك الحروف لكتابة كتاب جديد يحتوي بطريقة ما على نفس القاموس الذي بدأت به. وجد الباحثون أن أرقام $\pi$ فوضوية إحصائياً وموزعة جيداً لدرجة أنها يمكن أن تعمل كمصدر لعشوائيتها الخاصة. هذا لا يعني أن الأرقام سحرية أو أنها تخلق معلومات جديدة؛ بل يعني أن تعقيد $\pi$ مرتفع جداً لدرجة أنه يخفي طبيعتها الحتمية، ويعمل كبيئة عشوائية مثالية لنفسها. تؤكد الدراسة أنه على الرغم من أن $\pi$ رقم ثابت ومحسوب، إلا أن أرقامها هي أداة موثوقة لمحاكاة العشوائية، على الأقل حتى مقياس 314 تريليون رقم.