Can $π$ generate itself? A Monte Carlo analysis of 314 trillion digits

당신이 원의 모양을 추측하려고 한다고 상상해 보십시오. 하지만 당신에게는 자도, 컴퍼스도, 심지어 종이 한 장도 없습니다. 오직 구슬 한 봉지와 정사각형 상자 하나뿐입니다. 이것이 수학에서 '몬테카를로(Monte Carlo)' 시뮬레이션이라고 불리는 유명한 기법의 본질입니다. 아이디어는 간단합니다. 만약 당신이 원의 4분의 1 조각이 그려진 정사각형 상자 안으로 수천 개의 구슬을 무작위로 던진다면, 곡선 안에 들어간 구슬의 비율은 $\pi$(원의 지름과 둘레의 관계를 나타내는 수)의 값을 알려줄 것입니다. 구슬을 더 많이 던질수록, 당신의 추측은 실제 정답에 더 가까워집니다. 보통 이를 수행하려면 각 구슬이 어디에 떨어질지 결정하기 위해 진정한 난수를 생성하는 기계가 필요합니다. 그런데 만약 난수 생성기가 없다면 어떨까요? 만약 당신이 찾고자 하는 바로 그 숫자인 $\pi$의 자릿수들을 '무작위' 구슬의 원천으로 사용한다면 어떨까요? 이는 마치 역설처럼 들립니다. 마치 자신의 장화를 잡고 스스로를 들어 올리려는 것과 같습니다. 하지만 그것이 바로 과학자 팀이 테스트하기로 결정한 기묘한 질문입니다.

이탈리아 그라니사소 국립 연구소(Gran Sasso National Laboratories)의 연구원들이 작성한 이 논문은 거대한 데이터셋을 사용하여 이 놀라운 아이디어를 탐구합니다. 이 데이터셋은 $\pi$의 첫 314조 자리 소수점 자릿수입니다. 이 연구의 중요성을 이해하려면 $\pi$의 본질을 알 필요가 있습니다. $\pi$는 결정론적인 숫자입니다. 즉, 그 자릿수들은 전혀 무작위가 아닙니다. 그것들은 엄격한 수학적 규칙에 의해 고정되어 있고 계산된 것입니다. 그러나 수 세기 동안 수학자들은 이 자릿수들이 무작위처럼 보인다고 의심해 왔습니다. 이 숫자들은 '정규(normal)'적인 것으로 보입니다. 이는 모든 가능한 숫자의 조합(예: "123" 또는 "999")이 마치 공정한 주사위를 영원히 던지는 것처럼 동일한 빈도로 나타난다는 멋진 용어입니다. 만약 $\pi$가 진정으로 정규적이라면, 그 자릿수들은 컴퓨터 시뮬레이션을 위한 무작위 소스로서 충분히 제 역할을 할 수 있을 것입니다. 연구원들은 외부의 난수를 사용하지 않고도 $\pi$를 성공적으로 '재발견'하는 몬테카를로 시뮬레이션을 실행하기 위해 $\pi$의 자릿수를 사용할 수 있는지 확인하고 싶었습니다.

연구팀은 2025년 말에 계산된 기록적인 데이터셋인 314조 자리의 숫자를 가져와 이를 하나의 거대한 숫자 흐름으로 취급했습니다. 그들은 이 흐름을 한 번에 14자리의 작은 블록들로 잘게 나누었습니다. 한 블록의 처음 7자리는 점의 'x' 좌표가 되었고, 다음 7자리는 'y' 좌표가 되었습니다. 이 좌표들을 정사각형 과녁에 던져진 다트의 착륙 지점이라고 상상해 보십시오. 이 과정을 가능한 모든 블록에 대해 수행함으로써, 그들은 가상의 과녁에 던질 약 22.4조 개의 '다트'(또는 데이터 포인트)를 만들었습니다. 그런 다음 이 점들 중 가상의 4분의 1 원 안에 들어간 점의 개수를 셌습니다.

결과는 놀라운 성공이었습니다. 그들이 숫자를 계산했을 때, 시뮬레이션은 $\pi$의 값을 3.141593으로 추정해 냈습니다. 이는 실제 $\pi$ 값의 소수점 아래 일곱 자리와 완벽하게 일치하며, 이 정도 규모의 시뮬레이션에서 예상되는 오차 범위 내에 있습니다. 저자들은 이것이 $\pi$가 수학적으로 '정규적'이라거나 그 자릿수들이 서로 진정으로 독립적이라는 것을 증명하는 것은 아니라고 언급합니다(그것들은 고정된 규칙에 의해 생성되므로 진정으로 독립적일 수 없습니다). 그러나 이 실험은 실질적인 목적을 위해 $\pi$의 자릿수가 무작위 숫자처럼 충분히 행동하여, 자기 자신을 성공적으로 회복하는 몬테카를로 시뮬레이션을 생성할 수 있다는 강력한 경험적 증거를 제공합니다.

더 쉽게 말하자면, 이 논문은 $\pi$가 어떤 면에서 "스스로를 생성할 수 있음"을 보여줍니다. 그것은 마치 당신이 사전 한 권을 가져와서 모든 글자를 오려낸 뒤, 그 글자들을 사용하여 처음에 시작했던 것과 똑같은 내용을 담은 새로운 책을 쓰는 것과 같습니다. 연구원들은 $\pi$의 자릿수가 매우 통계적으로 혼돈스럽고 잘 분포되어 있어서, 자기 자신의 무작위 소스로서 기능할 수 있다는 것을 발견했습니다. 이는 자릿수가 마법이라거나 새로운 정보를 만들어낸다는 뜻이 아닙니다. 오히려 $\pi$의 복잡성이 매우 높아서 자신의 결정론적 본질을 숨기고, 자기 자신을 위한 완벽한 무작위 환경으로 작용한다는 것을 시사합니다. 이 연구는 비록 $\pi$가 고정되고 계산된 숫자일지라도, 그 자릿수가 314조 자리의 규모까지는 무작위성을 시뮬레이션하기 위한 신뢰할 수 있는 도구임을 확인해 줍니다.