Can $π$ generate itself? A Monte Carlo analysis of 314 trillion digits

想象一下，你正试图猜测一个圆形的形状，但你既没有尺子，也没有圆规，甚至连一张纸都没有。你拥有的只有一袋弹珠和一个正方形盒子。这就是数学中一个著名的技巧——“蒙特卡洛”（Monte Carlo）模拟的核心思想。这个想法很简单：如果你将成千上万颗弹珠随机投掷进一个包含在正方形盒子内的四分之一圆内，落在曲线内部的弹珠数量与总弹珠数量的比值将会告诉你 $\pi$ 的值（即那个联系圆直径与周长的常数）。你投掷的弹珠越多，你的估算值就越接近真实答案。通常情况下，为了实现这一点，你需要一台能够生成真正随机数的机器，来决定每颗弹珠落下的位置。但如果由于某种原因，你没有随机数生成器呢？如果你尝试使用 $\pi$ 本身的数字——也就是你试图寻找的那个数字本身——作为你“随机”弹珠的来源呢？这听起来像是一个悖论，就像试图拽着自己的鞋带把自己提起来一样，但这正是科学家团队决定测试的一个奇特问题。

这篇由意大利格兰萨索国家实验室（Gran Sasso National Laboratories）的研究人员撰写的论文，探讨了一个令人脑洞大开的想法，其研究基础是一个庞大的数据集：$\pi$ 的前 314 万亿位小数。为了理解其中的意义，我们需要了解 $\pi$ 的本质。它是一个确定性数字，这意味着它的数字一点也不随机；它们是根据严格的数学规则计算出来的固定值。然而，几个世纪以来，数学家们一直怀疑这些数字看起来是随机的。它们似乎是“正规的”（normal），这是一个高级词汇，意指任何可能的数字组合（比如“123”或“999”）出现的频率都是相同的，就像你永远在掷一枚公平的骰子一样。如果 $\pi$ 确实是正规的，那么它的数字应该足以作为计算机模拟的随机数来源。研究人员想要看看，他们是否可以使用 $\pi$ 的数字来进行一次蒙特卡洛模拟，从而在不使用任何外部随机数的情况下，“重新发现” $\pi$。

该团队采用了在 2025 年底计算出的创纪录数据集——314 万亿位数字，并将其视为一个巨大的数字流。他们将这个流切分成每块 14 位数字的小块。一个块的前 7 位数字成为一个点的 “x” 坐标，接下来的 7 位数字则成为 “y” 坐标。想象一下，这些坐标就是投向正方形靶子的飞镖落点。通过对每一个可能的块进行这种操作，他们创造了大约 22.4 万亿个“飞镖”（或数据点）来投向他们的虚拟靶子。然后，他们统计了有多少个点落在了这个虚构的四分之一圆之内。

结果是一个惊人的成功。当他们处理这些数据时，模拟得出的 $\pi$ 估计值为 3.141593。这与 $\pi$ 的实际值前七位小数完美契合，完全处于这种规模模拟预期的误差范围内。作者指出，这并不证明 $\pi$ 在数学上是“正规的”，也不证明其数字是真正相互独立的（因为它们是由固定规则生成的，所以不可能真正独立）。然而，这项实验提供了强有力的经验证据，表明在实际应用中，$\pi$ 的数字表现得如此接近随机数，以至于可以用它们来运行一次成功的蒙特卡洛模拟，从而回收其自身。

简单来说，这篇论文表明，$\pi$ 在某种程度上可以“自我生成”。这就像是你拿了一本字典，剪下所有的字母，然后用这些字母写了一本新书，而这本书竟然包含了和你开始时一模一样的字典。研究人员发现，$\pi$ 的数字在统计学上是如此混乱且分布均匀，以至于它们可以作为自身的随机源。这并不意味着这些数字具有魔力或创造了新信息；相反，它表明 $\pi$ 的复杂程度极高，以至于掩盖了其自身的确定性本质，从而为自身创造了一个完美的随机环境。这项研究证实，尽管 $\pi$ 是一个固定的、计算出来的数字，但其数字是一个可靠的工具，可以用于模拟随机性，至少在 314 万亿位数字的规模范围内是如此。