Can $π$ generate itself? A Monte Carlo analysis of 314 trillion digits

Imaginez que vous essayez de deviner la forme d'un cercle, mais que vous n'avez ni règle, ni compas, ni même une feuille de papier. Tout ce que vous avez, c'est un sac de billes et une boîte carrée. C'est l'essence même d'une astuce célèbre en mathématiques appelée simulation de « Monte Carlo ». L'idée est simple : si vous jetez des milliers de billes de manière aléatoire dans une boîte carrée qui contient un quart de cercle dessiné à l'intérieur, le rapport entre les billes tombées à l'intérieur de la courbe et le nombre total de billes vous donnera la valeur de $\pi$ (le nombre qui relie le diamètre d'un cercle à sa circonférence). Plus vous jetez de billes, plus votre estimation se rapproche de la vraie réponse. Habituellement, pour faire cela, on a besoin d'une machine capable de générer des nombres véritablement aléatoires pour décider où chaque bille atterrit. Mais et si vous n'aviez pas de générateur de nombres aléatoires ? Et si vous essayiez d'utiliser les chiffres de $\pi$ lui-même — le nombre même que vous essayez de trouver — comme source de vos « billes » aléatoires ? Cela semble être un paradoxe, comme essayer de se soulever en tirant sur ses propres lacets, mais c'est exactement la question étrange qu'une équipe de scientifiques a décidé de tester.

Cet article, écrit par des chercheurs du Laboratoire national du Gran Sasso en Italie, explore une idée déroutante utilisant un ensemble de données massif : les 314 billions de chiffres décimaux de $\pi$. Pour comprendre les enjeux, nous devons connaître un peu la nature de $\pi$. C'est un nombre déterministe, ce qui signifie que ses chiffres ne sont pas du tout aléatoires ; ils sont fixes et calculés par une règle mathématique stricète. Cependant, depuis des siècles, les mathématiciens soupçonnent que ces chiffres semblent aléatoires. Ils semblent être « normaux », un mot savant signifiant que chaque combinaison possible de chiffres (comme « 123 » ou « 999 ») apparaît avec la même fréquence, tout comme si vous lanciez un dé équilibré éternellement. Si $\pi$ est véritablement normal, ses chiffres devraient être suffisamment bons pour servir de source de nombres aléatoires pour des simulations informatiques. Les chercheurs voulaient voir s'ils pouvaient utiliser les chiffres de $\pi$ pour mener une simulation de Monte Carlo qui réussirait à « redécouvrir » $\pi$ sans utiliser de nombres aléatoires extérieurs.

L'équipe a pris l'ensemble de données record de 314 billions de chiffres, qui a été calculé fin 2025, et l'a traité comme un flux géant de nombres. Ils ont découpé ce flux en petits blocs de 14 chiffres à la fois. Les 7 premiers chiffres d'un bloc sont devenus la coordonnée « x » d'un point, et les 7 chiffres suivants sont devenus la coordonnée « y ». Imaginez ces coordonnées comme l'endroit où atterrit un dard lancé sur une cible carrée. En faisant cela pour chaque bloc possible, ils ont créé environ 22,4 billions de « dards » (ou points de données) à lancer sur leur cible virtuelle. Ils ont ensuite compté combien de ces points sont tombés à l'intérieur du quart de cercle imaginaire.

Le résultat fut un succès fulgurant. Lorsqu'ils ont analysé les chiffres, la simulation a produit une estimation de $\pi$ égale à 3,141593. Cela correspond parfaitement aux sept premières décimales de la valeur réelle de $\pi$, respectant la marge d'erreur attendue pour une simulation de cette taille. Les auteurs notent que cela ne prouve pas que $\pi$ est mathématiquement « normal » ou que ses chiffres sont véritablement indépendants les uns des autres (puisqu'ils sont générés par une règle fixe, ils ne peuvent pas être véritablement indépendants). Cependant, l'expérience fournit une preuve empirique forte que, pour toutes les fins pratiques, les chiffres de $\pi$ se comportent tellement comme des nombres aléatoires qu'ils peuvent être utilisés pour générer une simulation de Monte Carlo qui récupère avec succès le nombre lui-même.

En termes plus simples, l'article montre que $\pi$ peut, d'une certaine manière, « s'auto-générer ». C'est comme si vous preniez un dictionnaire, que vous découpiez chaque lettre, et que vous utilisiez ces lettres pour écrire un nouveau livre qui contiendrait, d'une manière ou d'une autre, le même dictionnaire que celui avec lequel vous avez commencé. Les chercheurs ont découvert que les chiffres de $\pi$ sont si statistiquement chaotiques et bien répartis qu'ils peuvent servir de propre source de hasard. Cela ne signifie pas que les chiffres sont magiques ou qu'ils créent de nouvelles informations ; cela suggère plutôt que la complexité de $\pi$ est si élevée qu'elle cache sa propre nature déterministe, agissant comme un environnement aléatoire parfait pour elle-même. L'étude confirme que, même si $\pi$ est un nombre fixe et calculé, ses chiffres sont un outil fiable pour simuler le hasard, du moins à l'échelle de 314 billions de chiffres.