Can $π$ generate itself? A Monte Carlo analysis of 314 trillion digits

あなたは円の形を推測しようとしているところだと想像してください。しかし、定規もコンパスも、紙さえも持っていません。手元にあるのは、一袋のビー玉と正方形の箱だけです。これは、「モンテカルロ」シミュレーションと呼ばれる有名な数学のトリックの本質です。そのアイデアは単純です。もし、四分円が描かれた正方形の箱の中に、何千個ものビー玉をランダムに投げ入れたとしたら、曲線の中に落ちたビー玉の割合は、$\pi$（円の直径と円周の関係を示す数）の値を示してくれることになります。投げるビー玉の数が多いほど、あなたの推測は真の値に近づきます。通常、これを行うには、各ビー玉がどこに落ちるかを決定するために、真の乱数を生成するマシンが必要です。しかし、もし乱数生成器を持っていなかったらどうでしょう？ もし、$\pi$ の数字そのもの――あなたがまさに探そうとしているその数――を「ランダムな」ビー玉の供給源として使おうとしたらどうなるでしょうか？ それはパラドックスのように聞こえます。まるで、自分の靴紐を引っ張って自分自身を持ち上げようとするようなものです。しかし、それこそが、ある科学者チームが検証することに決めた奇妙な問いなのです。

イタリアのグラン・サッソ国立研究所の研究者たちによるこの論文は、膨大なデータセットを用いて、この驚くべきアイデアを探求しています。そのデータとは、$\pi$ の最初の314兆桁です。この研究の重要性を理解するために、まず $\pi$ の性質を知っておく必要があります。$\pi$ は決定論的な数です。つまり、その数字は決してランダムではなく、厳格な数学的規則によって固定され、計算されているものです。しかし、何世紀もの間、数学者たちはこれらの数字が「ランダムに見える」と考えてきました。それらは「正規（normal）」である、つまり、あらゆる数字の組み合わせ（例えば「123」や「999」など）が、サイコロを永遠に振り続けている時のように、同じ頻度で現れるという性質を持っているように見えるのです。もし $\pi$ が真に正規であるならば、その数字はコンピュータ・シミュレーションのための乱数の供給源として十分に機能するはずです。研究者たちは、外部の乱数を使わずに、$\pi$ を使ってモンテカルロ・シミュレーションを実行し、$\pi$ を「再発見」できるかどうかを確認したいと考えました。

チームは、2025年末に計算された記録的なデータセットである314兆桁を取り出し、それを巨大な数字のストリームとして扱いました。彼らはこのストリームを、一度に14桁ずつの小さなブロックに切り分けました。あるブロックの最初の7桁を点の「x」座標とし、次の7桁を「y」座標としました。これらの座標を、正方形のターゲットに投げられたダーツの着弾地点だと想像してください。あらゆる可能なブロックに対してこれを行うことで、彼らは仮想のターゲットに向かって投げる約22.4兆個の「ダーツ」（あるいはデータポイント）を作り出しました。そして、これらの点のうち、どれが想像上の四分円の中に落ちたかを数えました。

結果は驚くべき成功でした。数字を算出してみると、シミュレーションによって得られた $\pi$ の推定値は3.141593となりました。これは、実際の $\pi$ の値の最初の7桁と完璧に一致しており、この規模のシミュレーションに期待される誤差範囲内に収まっています。著者らは、これが $\pi$ が数学的に「正規」であることや、その数字が互いに真に独立していることを証明するものではない（固定された規則によって生成されているため、真に独立することはあり得ない）と述べています。しかし、この実験は、実用的な観点から見て、$\pi$ の数字が乱数として振る舞うほど十分に統計的にランダムであり、それ自体を用いて $\pi$ を復元するモンテカルロ・シミュレーションを成功させられるという強力な経験的証拠を提供しています。

簡単に言えば、この論文は、$\pi$ がある意味で「自己生成」できることを示しています。それはまるで、辞書を取り出し、すべての文字を切り抜き、その文字を使って、元の辞書と全く同じ内容を含む新しい本を書き上げるようなものです。研究者たちは、$\pi$ の数字があまりにも統計的に混沌としており、よく分布しているため、それ自体が乱数の供給源として機能できることを見出しました。これは、数字が魔法のような力を持っているとか、新しい情報を生み出しているという意味ではありません。むしろ、$\pi$ の複雑さが非常に高いために、その決定論的な性質が隠され、それ自体にとって完璧なランダムな環境として機能していることを示唆しています。この研究は、たとえ $\pi$ が固定された計算された数であったとしても、その数字が、少なくとも314兆桁のスケールにおいては、ランダム性をシミュレートするための信頼できる道具であることを裏付けています。