Cohomological obstructions to equivariant unirationality

Technische Zusammenfassung: Kohomologische Hindernisse für Äquivariante Unirationalität

Problemstellung
Die Arbeit untersucht das Problem der Bestimmung, ob eine glatte projektive rationale Varietät $X$ mit einer generisch freien regulären Wirkung einer endlichen Gruppe $G$ $G$-unirational oder projektiv $G$-unirational ist.

• $X$ ist $G$-unirational, wenn es eine dominante $G$-äquivariante rationale Abbildung $\mathbb{P}(V) \dashrightarrow X$ für eine $G$-Darstellung $V$ gibt.
• $X$ ist projektiv $G$-unirational, wenn eine solche Abbildung für eine projektive Darstellung von $G$ existiert.

Während die Existenz von $k$-rationalen Punkten ein Standardhindernis für Rationalität über nicht abgeschlossenen Körpern ist, und die Existenz von Fixpunkten für abelsche Untergruppen (Bedingung A) eine notwendige Bedingung für äquivariante Unirationalität darstellt, sind diese Hindernisse oft unzureichend. Die Autoren adressieren die Lücke, in der diese „offensichtlichen“ Hindernisse verschwinden, die Varietät jedoch dennoch nicht äquivariant unirational sein kann.

Methodik
Die Autoren entwickeln und wenden kohomologische Hindernisse an, die aus der Wirkung von $G$ auf die Picard-Gruppe $\text{Pic}(X)$ abgeleitet sind. Die Kernmethodik stützt sich auf die Leray-Spektralsequenz für den Quotientenstack $[X/G]$, die eine Sequenz von Homomorphismen in der Gruppenkohomologie liefert:
$$\text{Pic}(X)^G \xrightarrow{\delta_2} H^2(G, k^\times) \quad \text{und} \quad H^1(G, \text{Pic}(X)) \xrightarrow{\delta_3} H^3(G, k^\times)$$
Die Bilder dieser Abbildungen definieren die Amitsur-Gruppen:

• $Am_2(X, G) := \text{Im}(\delta_2)$
• $Am_3(X, G) := \text{Im}(\delta_3)$

Diese Gruppen sind stabile $G$-birationale Invarianten. Die Arbeit stellt fest:

1. Wenn $X$ $G$-unirational ist, dann ist $Am_j(X, H) = 0$ für alle Untergruppen $H \subseteq G$ und $j=2, 3$.
2. Wenn $X$ projektiv $G$-unirational ist, muss $Am_2(X, H)$ zyklisch sein und $Am_3(X, H) = 0$ gelten.

Die Autoren setzen diese Invarianten in Beziehung zum Bogomolov-Multiplikator $B_n(G)$, der als Kern der Restriktionsabbildung von $H^n(G, k^\times)$ auf die direkte Summe der Kohomologiegruppen aller abelschen Untergruppen definiert ist. Speziell gilt, falls Bedingung (A) erfüllt ist, $Am_j(X, G) \subseteq B_j(G)$. Die Berechnung dieser Invarianten wird auf $p$-Sylow-Untergruppen reduziert und nutzt die Stabilisator-Stratifizierung der $G$-Wirkung auf $X$.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse
Die Arbeit liefert eine Klassifizierung von generisch freien regulären Wirkungen auf del-Pezzo-Flächen und Kummer-Quartik-Doppel-Soliden, bei denen diese kohomologischen Hindernisse nicht trivial sind.

1. del-Pezzo-Flächen (Theorem 3):
   Die Autoren klassifizieren Paare $(X, G)$, wobei $X$ eine del-Pezzo-Fläche ist und $Am_3(X, H) \neq 0$ für eine Untergruppe $H \subseteq G$.

   • Grad 3 (Kubische Flächen): Der einzige Fall mit einem nicht-trivialen Hindernis, das Bedingung (A) erfüllt, betrifft die Fermat-Kubische Fläche mit $G$ enthaltend $H = C_3^3$. Dieser Fall verletzt jedoch Bedingung (A) für die volle Gruppe, obwohl das Hindernis fortbesteht.
   • Grad 2: Die Autoren identifizieren spezifische Wirkungen, bei denen Bedingung (A) gilt (Fixpunkte existieren für alle abelschen Untergruppen), jedoch $Am_3(X, H) \neq 0$ ist.
     • Das primäre Hindernis ergibt sich aus Wirkungen der Quaternionengruppe $Q_8$ (Ordnung 8).
     • Speziell für eine grad 2 del-Pezzo-Fläche, definiert durch $w^2 = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + ax_1^2x_2^2$, liefert die Wirkung von $Q_8$, erzeugt durch spezifische Involutionen und Permutationen, $Am_3(X, Q_8) \cong \mathbb{Z}/2$.
     • Dieses Resultat zeigt, dass das Analogon eines bekannten Theorems für höhergradige del-Pezzo-Flächen (wo Bedingung (A) Unirationalität impliziert) für Flächen vom Grad 2 fehlschlägt.

2. Kummer-Quartik-Doppel-Solide (Theorem 4):
   Die Untersuchung erweitert sich auf Doppelüberlagerungen von $\mathbb{P}^3$, verzweigt in einer Kummer-Fläche (hervorgehend aus der Jacobi-Varietät einer Genus-2-Kurve mit maximalen Automorphismen).

   • Die Autoren berechnen $Am_3(\tilde{X}, G)$ für die Blow-up $\tilde{X}$ der 16 Knoten.
   • Sie identifizieren, dass $Am_3(\tilde{X}, H) \neq 0$ genau dann gilt, wenn $G$ eine Untergruppe enthält, die konjugat zu einer spezifischen $Q_8$-Wirkung ist.
   • Im Gegensatz zum Fall der Flächen zeigt die Berechnung, dass eine nicht-triviale Brauer-Gruppe des Quotientenstacks existieren kann, selbst wenn keine Divisoren mit nicht-trivialen generischen Stabilisatoren vorhanden sind, was die Analyse höherdimensionaler Strata erfordert.

Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit beansprucht, neue kohomologische Hindernisse zu liefern, die sich von der Existenz von Fixpunkten unterscheiden.

• Subtilität der äquivarianten Geometrie: Die Ergebnisse unterstreichen einen „starken Unterschied“ zwischen birationaler Geometrie über einem Körper $k$ (wo rationale Punkte das primäre Hindernis sind) und äquivarianter Geometrie über dem Stack $BG$. In der äquivarianten Einstellung sind Invarianten wie $Am_3$ „sehr subtil und informativ“.
• Versagen von Bedingung (A): Die Arbeit zeigt explizit, dass für del-Pezzo-Flächen des Grades 2 die Existenz von Fixpunkten für alle abelschen Untergruppen (Bedingung A) nicht ausreicht, um $G$-Unirationalität oder projektive $G$-Unirationalität zu garantieren.
• Rolle von $Q_8$: In allen identifizierten Gegenbeispielen ist die Quaternionengruppe $Q_8$ die Quelle des nicht-trivialen Hindernisses.
• Fazit: Varietäten, die diese nicht-trivialen Amitsur-Invarianten aufweisen, sind weder $G$-unirational noch projektiv $G$-unirational, was eine konkrete Methode bietet, um die äquivariante Unirationalität in Fällen auszuschließen, in denen geometrische Fixpunkt-Kriterien erfüllt sind.