Cohomological obstructions to equivariant unirationality

Résumé Technique : Obstructions Cohomologiques à l'Unirationalité Équivariante

Énoncé du Problème
L'article étudie le problème de déterminer si une variété rationnelle régulière lisse et projective $X$, munie d'une action régulière génériquement libre d'un groupe fini $G$, est $G$-unirationnelle ou projectivement $G$-unirationnelle.

• $X$ est $G$-unirationnelle s'il existe une application rationnelle $G$-équivariante dominante $\mathbb{P}(V) \dashrightarrow X$ pour une certaine représentation $G$ de $V$.
• $X$ est projectivement $G$-unirationnelle si une telle application existe pour une représentation projective de $G$.

Bien que l'existence de points rationnels sur $k$ soit une obstruction standard à la rationalité sur des corps non clos, et que l'existence de points fixes pour les sous-groupes abéliens (Condition A) soit une condition nécessaire pour l'unirationalité équivariante, ces obstructions sont souvent insuffisantes. Les auteurs traitent le cas où ces obstructions « évidentes » s'annulent, mais où la variété peut néanmoins ne pas être équivariamment unirationnelle.

Méthodologie
Les auteurs développent et appliquent des obstructions cohomologiques dérivées de l'action de $G$ sur le groupe de Picard $\text{Pic}(X)$. La méthodologie centrale repose sur la suite spectrale de Leray pour le stack quotient $[X/G]$, qui produit une séquence de homomorphismes dans la cohomologie des groupes :
$$\text{Pic}(X)^G \xrightarrow{\delta_2} H^2(G, k^\times) \quad \text{et} \quad H^1(G, \text{Pic}(X)) \xrightarrow{\delta_3} H^3(G, k^\times)$$
Les images de ces applications définissent les groupes d'Amitsur :

• $Am_2(X, G) := \text{Im}(\delta_2)$
• $Am_3(X, G) := \text{Im}(\delta_3)$

Ces groupes sont des invariants birationnels $G$-stables. L'article établit que :

1. Si $X$ est $G$-unirationnelle, alors $Am_j(X, H) = 0$ pour tout sous-groupe $H \subseteq G$ et $j=2, 3$.
2. Si $X$ est projectivement $G$-unirationnelle, alors $Am_2(X, H)$ doit être cyclique et $Am_3(X, H) = 0$.

Les auteurs relient ces invariants au multiplicateur de Bogomolov $B_n(G)$, défini comme le noyau de l'application de restriction de $H^n(G, k^\times)$ vers la somme directe des groupes de cohomologie de tous les sous-groupes abéliens. Spécifiquement, si la Condition (A) est satisfaite, $Am_j(X, H) \subseteq B_j(G)$. Le calcul de ces invariants est réduit aux sous-groupes de Sylow $p$ et utilise la stratification par stabilisateurs de l'action de $G$ sur $X$.

Contributions Clés et Résultats
L'article fournit une classification des actions régulières génériquement libres sur des surfaces de del Pezzo et des solides de Kummer quartiques doubles où ces obstructions cohomologiques sont non triviales.

1. Surfaces de del Pezzo (Théorème 3) :
   Les auteurs classifient les paires $(X, G)$ où $X$ est une surface de del Pezzo et $Am_3(X, H) \neq 0$ pour un certain $H \subseteq G$.

   • Degré 3 (Surfaces Cubiques) : Le seul cas avec une obstruction non triviale satisfaisant la Condition (A) implique la surface cubique de Fermat avec $G$ contenant $H = C_3^3$. Cependant, ce cas échoue à la Condition (A) pour le groupe complet, bien que l'obstruction persiste.
   • Degré 2 : Les auteurs identifient des actions spécifiques où la Condition (A) est satisfaite (des points fixes existent pour tous les sous-groupes abéliens), pourtant $Am_3(X, H) \neq 0$.
     • L'obstruction principale provient d'actions du groupe quaternion $Q_8$ (d'ordre 8).
     • Plus précisément, pour une surface de del Pezzo de degré 2 définie par $w^2 = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + ax_1^2x_2^2$, l'action de $Q_8$ générée par des involutions et des permutations spécifiques produit $Am_3(X, Q_8) \cong \mathbb{Z}/2$.
     • Ce résultat démontre que l'analogue d'un théorème connu pour les surfaces de del Pezzo de degré supérieur (où la Condition (A) implique l'unirationnalité) échoue pour les surfaces de degré 2.

2. Solides de Kummer Quartiques Doubles (Théorème 4) :
   L'étude s'étend aux revêtements doubles de $\mathbb{P}^3$ ramifiés en une surface de Kummer (issue de la jacobienne d'une courbe de genre 2 possédant des automorphismes maximaux).

   • Les auteurs calculent $Am_3(\tilde{X}, G)$ pour le soufflage $\tilde{X}$ des 16 nœuds.
   • Ils identifient que $Am_3(\tilde{X}, H) \neq 0$ si et seulement si $G$ contient un sous-groupe conjugué à une action spécifique de $Q_8$.
   • Contrairement au cas des surfaces, le calcul révèle qu'un groupe de Brauer non trivial du stack quotient peut exister même en l'absence de diviseurs avec des stabilisateurs génériques non triviaux, nécessant l'analyse de strates de dimension supérieure.

Signification et Revendications
L'article prétend fournir de nouvelles obstructions cohomologiques qui sont distinctes de l'existence de points fixes.

• Subtilité de la Géométrie Équivariante : Les résultats soulignent une « différence flagrante » entre la géométrie birationnelle sur un corps $k$ (où les points rationnels sont l'obstruction primaire) et la géométrie équivariante sur le stack $BG$. Dans le cadre équivariant, des invariants comme $Am_3$ sont « très subtils et informatifs ».
• Échec de la Condition (A) : Le papier montre explicitement que pour les surfaces de del Pezzo de degré 2, l'existence de points fixes pour tous les sous-groupes abéliens (Condition A) n'est pas suffisante pour garantir la $G$-unirationnalité ou la $G$-unirationnalité projective.
• Rôle de $Q_8$ : Dans tous les contre-exemples identifiés, le groupe quaternion $Q_8$ est la source de l'obstruction non triviale.
• Conclusion : Les variétés présentant ces invariants d'Amitsur non triviaux ne sont ni $G$-unirationnelles, ni projectivement $G$-unirationnelles, fournissant une méthode concrète pour exclure l'unirationnalité équivariante même lorsque les critères géométriques de points fixes sont remplis.