Cohomological obstructions to equivariant unirationality

Resumo Técnico: Obstruções Cohomológicas à Uniracionalidade Equivariante

Enunciado do Problema
O artigo investiga o problema de determinar se uma variedade racional suave e projetiva $X$ com uma ação regular genericamente livre de um grupo finito $G$ é $G$-uniracional ou projetivamente $G$-uniracional.

• $X$ é $G$-uniracional se existe um mapa racional $G$-equivariante dominante $\mathbb{P}(V) \dashrightarrow X$ para alguma representação $G$ de $V$.
• $X$ é projetivamente $G$-uniracional se tal mapa existe para uma representação projetiva de $G$.

Embora a existência de pontos $k$-racionais seja uma obstrução padrão à racionalidade sobre corpos não algebricamente fechados, e a existência de pontos fixos para subgrupos abelianos (Condição A) seja uma condição necessária para a uniracionalidade equivariante, essas obstruções são frequentemente insuficientes. Os autores abordam a lacuna onde essas obstruções "óbvias" desaparecem, mas a variedade ainda pode falhar em ser equivariantemente uniracional.

Metodologia
Os autores desenvolvem e aplicam obstruções cohomológicas derivadas da ação de $G$ no grupo de Picard $\text{Pic}(X)$. A metodologia central baseia-se na sequência espectral de Leray para o stack de quotient $[X/G]$, que produz uma sequência de homomorfismos em cohomologia de grupos:
$$\text{Pic}(X)^G \xrightarrow{\delta_2} H^2(G, k^\times) \quad \text{e} \quad H^1(G, \text{Pic}(X)) \xrightarrow{\delta_3} H^3(G, k^\times)$$
As imagens desses mapas definem os grupos de Amitsur:

• $Am_2(X, G) := \text{Im}(\delta_2)$
• $Am_3(X, G) := \text{Im}(\delta_3)$

Esses grupos são invariantes biracionais $G$-estáveis. O artigo estabelece que:

1. Se $X$ é $G$-uniracional, então $Am_j(X, H) = 0$ para todos os subgrupos $H \subseteq G$ e $j=2, 3$.
2. Se $X$ é projetivamente $G$-uniracional, então $Am_2(X, H)$ deve ser cíclico e $Am_3(X, H) = 0$.

Os autores relacionam esses invariantes ao multiplicador de Bogomolov $B_n(G)$, definido como o núcleo do mapa de restrição de $H^n(G, k^\times)$ para a soma direta dos grupos de cohomologia de todos os subgrupos abelianos. Especificamente, se a Condição (A) é satisfeita, $Am_j(X, G) \subseteq B_j(G)$. O cálculo desses invariantes é reduzido a subgrupos de Sylow $p$ e utiliza a estratificação de estabilizadores da ação de $G$ em $X$.

Principais Contribuições e Resultados
O artigo fornece uma classificação de ações regulares genericamente livres em superfícies de del Pezzo e sólidos duplos de Kummer quarticos onde estas obstruções cohomológicas são não triviais, mesmo quando a Condição (A) é satisfeita.

1. Superfícies de del Pezzo (Teorema 3):
   Os autores classificam pares $(X, G)$ onde $X$ é uma superfície de del Pezzo e $Am_3(X, H) \neq 0$ para algum $H \subseteq G$.

   • Grau 3 (Superfícies Cúbicas): O único caso com uma obstrução não trivial satisfazendo a Condição (A) envolve a superfície cúbica de Fermat com $G$ contendo $H = C_3^3$. No entanto, este caso falha a Condição (A) para o grupo total, embora a obstrução persista.
   • Grau 2: Os autores identificam ações específicas onde a Condição (A) é satisfeita (pontos fixos existem para todos os subgrupos abelianos), mas $Am_3(X, H) \neq 0$.
     • A principal obstrução surge de ações do grupo de quaternion $Q_8$ (ordem 8).
     • Especificamente, para uma superfície de del Pezzo de grau 2 definida por $w^2 = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + ax_1^2x_2^2$, a ação de $Q_8$ gerada por involuções e permutações específicas produz $Am_3(X, Q_8) \cong \mathbb{Z}/2$.
     • Este resultado demonstra que o análogo de um teorema conhecido para superfícies de del Pezzo de grau superior (onde a Condição (A) implica uniracionalidade) falha para superfícies de grau 2.

2. Sólidos Duplos de Kummer Quarticos (Teorema 4):
   O estudo estende-se a coberturas duplas de $\mathbb{P}^3$ ramificadas em uma superfície de Kummer (derivada da jacobiana de uma curva de gênero 2 com automorfismos máximos).

   • Os autores calculam $Am_3(\tilde{X}, G)$ para o blow-up $\tilde{X}$ dos 16 nós.
   • Eles identificam que $Am_3(\tilde{X}, H) \neq 0$ se, e somente se, $G$ contém um subgrupo conjugado a uma ação específica de $Q_8$.
   • Ao contrário do caso das superfícies, o cálculo revela que um grupo de Brauer não trivial do stack de quotient pode existir mesmo na ausência de divisores com estabilizadores genéricos não triviais, exigindo a análise de estratos de dimensões superiores.

Significado e Alegações
O artigo afirma fornecer novas obstruções cohomológicas que são distintas da existência de pontos fixos.

• Subtileza da Geometria Equivariante: Os resultados destacam uma "diferença gritante" entre a geometria biracional sobre um corpo $k$ (onde pontos racionais são a principal obstrução) e a geometria equivariante sobre o stack $BG$. No cenário equivariante, invariantes como $Am_3$ são "bastante sutis e informativos".
• Falha da Condição (A): O artigo mostra explicitamente que, para superfícies de del Pezzo de grau 2, a existência de pontos fixos para todos os subgrupos abelianos (Condição A) não é suficiente para garantir a $G$-uniracionalidade ou a $G$-uniracionalidade projetiva.
• Papel de $Q_8$: Em todos os contraexemplos identificados, o grupo de quaternion $Q_8$ é a fonte da obstrução não trivial.
• Conclusão: Variedades que exibem esses invariantes de Amitsur não triviais não são nem $G$-uniracionais nem projetivamente $G$-uniracionais, fornecendo um método concreto para excluir a uniracionalidade equivariante em casos onde os critérios geométricos de pontos fixos são atendidos.