Cohomological obstructions to equivariant unirationality

Resumen Técnico: Obstrucciones Cohomológicas a la Uniracionalidad Equivariante

Planteamiento del Problema
El artículo investiga el problema de determinar si una variedad racional proyectiva suave $X$ con una acción regular genéricamente libre de un grupo finito $G$ es $G$-uniracional o proyectivamente $G$-uniracional.

• $X$ es $G$-uniracional si existe un mapa racional $G$-equivariante dominante $\mathbb{P}(V) \dashrightarrow X$ para alguna representación $G$ de $V$.
• $X$ es proyectivamente $G$-uniracional si tal mapa existe para una representación proyectiva de $G$.

Si bien la existencia de puntos $k$-racionales es una obstrucción estándar a la racionalidad sobre campos no cerrados, y la existencia de puntos fijos para subgrupos abelianos (Condición A) es una condición necesaria para la uniracionalidad equivariante, estas obstrucciones suelen ser insuficientes. Los autores abordan el vacío donde estas obstrucciones "obvias" desaparecen, pero la variedad aún puede fallar en ser equivariantemente uniracional.

Metodología
Los autores desarrollan y aplican obstrucciones cohomológicas derivadas de la acción de $G$ sobre el grupo de Picard $\text{Pic}(X)$. La metodología central se basa en la secuencia espectral de Leray para el stack quotient $[X/G]$, que produce una secuencia de homomorfismos en la cohomología de grupos:
$$\text{Pic}(X)^G \xrightarrow{\delta_2} H^2(G, k^\times) \quad \text{y} \quad H^1(G, \text{Pic}(X)) \xrightarrow{\delta_3} H^3(G, k^\times)$$
Las imágenes de estos mapas definen los grupos de Amitsur:

• $Am_2(X, G) := \text{Im}(\delta_2)$
• $Am_3(X, G) := \text{Im}(\delta_3)$

Estos grupos son invariantes biracionales $G$-estables. El artículo establece que:

1. Si $X$ es $G$-uniracional, entonces $Am_j(X, H) = 0$ para todos los subgrupos $H \subseteq G$ y $j=2, 3$.
2. Si $X$ es proyectivamente $G$-uniracional, entonces $Am_2(X, H)$ debe ser cíclico y $Am_3(X, H) = 0$.

Los autores relacionan estos invariantes con el multiplicador de Bogomolov $B_n(G)$, definido como el núcleo del mapa de restricción desde $H^n(G, k^\times)$ hacia la suma directa de los grupos de cohomología de todos los subgrupos abelianos. Específicamente, si la Condición (A) se cumple, $Am_j(X, G) \subseteq B_j(G)$. El cálculo de estos invariantes se reduce a subgrupos $p$-Sylow y utiliza la estratificación por estabilizadores de la acción de $G$ en $X$.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo proporciona una clasificación de acciones regulares genéricamente libres en superficies de del Pezzo y sólidos dobles de Kummer cuárticos donde estas obstrucciones cohomológicas son no triviales, incluso cuando la Condición (A) se cumple.

1. Superficies de del Pezzo (Teorema 3): Los autores clasifican pares $(X, G)$ donde $X$ es una superficie de del Pezzo y $Am_3(X, H) \neq 0$ para algún $H \subseteq G$.

   • Grado 3 (Superficies Cúbicas): El único caso con una obstrucción no trivial que satisface la Condición (A) involucra a la superficie cúbica de Fermat con $G$ conteniendo a $H = C_3^3$. Sin embargo, este caso falla la Condición (A) para el grupo completo, aunque la obstrucción persiste.
   • Grado 2: Los autores identifican acciones específicas donde la Condición (A) se cumple (existen puntos fijos para todos los subgrupos abelianos), pero $Am_3(X, H) \neq 0$.
     • La principal obstrucción surge de las acciones del grupo cuaternión $Q_8$ (orden 8).
     • Específicamente, para una superficie de del Pezzo de grado 2 definida por $w^2 = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + ax_1^2x_2^2$, la acción de $Q_8$ generada por involuciones y permutaciones específicas produce $Am_3(X, Q_8) \cong \mathbb{Z}/2$.
     • Este resultado demuestra que el análogo de un teorema conocido para superficies de del Pezzo de mayor grado (donde la Condición (A) implica la uniracionalidad) falla para superficies de grado 2.

2. Sólidos Dobles de Kummer Cuárticos (Teorema 4): El estudio se extiende a doble recubrimientos de $\mathbb{P}^3$ ramificados en una superficie de Kummer (derivada de la Jacobiana de una curva de género 2 con automorfismos máximos).

   • Los autores calculan $Am_3(\tilde{X}, G)$ para el blow-up $\tilde{X}$ de los 16 nodos.
   • Identifican que $Am_3(\tilde{X}, H) \neq 0$ si y solo si $G$ contiene un subgrupo conjugado a una acción específica de $Q_8$.
   • A diferencia del caso de la superficie, el cálculo revela que puede existir un grupo de Brauer no trivial del stack quotient incluso en ausencia de divisores con estabilizadores genéricos no triviales, requiriendo el análisis de estratos de mayor dimensión.

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar nuevas obstrucciones cohomológicas que son distintas de la existencia de puntos fijos.

• Sutileza de la Geometría Equivariante: Los resultados resaltan una "diferencia marcada" entre la geometría biracional sobre un campo $k$ (donde los puntos racionales son la principal obstrucción) y la geometría equivariante sobre el stack $BG$. En el entorno equivariante, los invariantes como $Am_3$ son "bastante sutiles e informativos".
• Fallo de la Condición (A): El artículo muestra explícitamente que para las superficies de del Pezzo de grado 2, la existencia de puntos fijos para todos los subgrupos abelianos (Condición A) no es suficiente para garantizar la $G$-uniracionalidad o la proyectiva $G$-uniracionalidad.
• Rol de $Q_8$: En todos los contraejemplos identificados, el grupo cuaternión $Q_8$ es la fuente de la obstrucción no trivial.
• Conclusión: Las variedades que exhiben estos invariantes de Amitsur no triviales no son ni $G$-uniracionales ni proyectivamente $G$-uniracionales, proporcionando un método concreto para excluir la uniracionalidad equivariante en casos donde los criterios de puntos fijos geométricos se cumplen.