Cohomological obstructions to equivariant unirationality

Sintesi Tecnica: Ostruzioni Coomologiche all'Unirazionalità Equivariante

Enunciato del Problema
Il saggio investiga il problema di determinare se una varietà razionale proiettiva liscia $X$ con un'azione regolare genericamente libera di un gruppo finito $G$ sia $G$-unirazionale o proiettivamente $G$-unirazionale.

• $X$ è $G$-unirazionale se esiste una mappa razionale $G$-equivariante dominante $\mathbb{P}(V) \dashrightarrow X$ per qualche rappresentazione $G$ di $V$.
• $X$ è proiettivamente $G$-unirazionale se tale mappa esiste per una rappresentazione proiettiva di $G$.

Mentre l'esistenza di punti $k$-razionali è un'ostruzione standard alla razionalità su campi non chiusi, e l'esistenza di punti fissi per i sottogruppi abeliani (Condizione A) è una condizione necessaria per l'unirazionalità equivariante, queste ostruzioni sono spesso insufficienti. Gli autori affrontano il vuoto in cui queste ostruzioni "ovvie" scompaiono, ma la varietà può comunque non essere equivariantemente unirazionale.

Metodologia
Gli autori sviluppano e applicano ostruzioni coomologiche derivate dall'azione di $G$ sul gruppo di Picard $\text{Pic}(X)$. La metodologia centrale si basa sulla sequenza spettrale di Leray per lo stack di quotient $[X/G]$, che produce una sequenza di omomorfismi nella coomologia del gruppo:
$$\text{Pic}(X)^G \xrightarrow{\delta_2} H^2(G, k^\times) \quad \text{e} \quad H^1(G, \text{Pic}(X)) \xrightarrow{\delta_3} H^3(G, k^\times)$$
Le immagini di queste mappe definiscono gli gruppi di Amitsur:

• $Am_2(X, G) := \text{Im}(\delta_2)$
• $Am_3(X, G) := \text{Im}(\delta_3)$

Questi gruppi sono invarianti birazionali $G$-stabili. Il saggio stabilisce che:

1. Se $X$ è $G$-unirazionale, allora $Am_j(X, H) = 0$ per tutti i sottogruppi $H \subseteq G$ e $j=2, 3$.
2. Se $X$ è proiettivamente $G$-unirazionale, allora $Am_2(X, H)$ deve essere ciclico e $Am_3(X, H) = 0$.

Gli autori collegano questi invarianti al moltiplicatore di Bogomolov $B_n(G)$, definito come il nucleo della mappa di restrizione da $H^n(G, k^\times)$ alla somma diretta dei gruppi di coomologia di tutti i sottogruppi abeliani. Specificamente, se la Condizione (A) è soddisfatta, $Am_j(X, G) \subseteq B_j(G)$. Il calcolo di questi invarianti è ridotto ai sottogruppi di Sylow $p$ e utilizza la stratificazione dei stabilizzatori dell'azione di $G$ su $X$.

Contributi Chiave e Risultati
Il saggio fornisce una classificazione delle azioni regolari genericamente libere su superfici del Pezzo del grado inferiore (del Pezzo) e solidi quartici doppi di Kummer dove queste ostruzioni coomologiche sono non triviali.

1. Superfici del Pezzo (Teorema 3): Gli autori classificano le coppie $(X, G)$ dove $X$ è una superficie del Pezzo e $Am_3(X, H) \neq 0$ per qualche $H \subseteq G$.

   • Grado 3 (Superfici Cubiche): L'unico caso con un'ostruzione non triviale che soddisfa la Condizione (A) coinvolge la superficie cubica di Fermat con $G$ che contiene $H = C_3^3$. Tuttavia, questo caso fallisce la Condizione (A) per il gruppo completo, sebbene l'ostruzione persista.
   • Grado 2: Gli autori identificano specifiche azioni dove la Condizione (A) è soddisfatta (esistono punti fissi per tutti i sottogruppi abeliani), ma $Am_3(X, H) \neq 0$.
     • L'ostruzione primaria deriva da azioni del gruppo quaternione $Q_8$ (ordine 8).
     • Nello specifico, per una superficie del Pezzo di grado 2 definita da $w^2 = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + ax_1^2x_2^2$, l'azione di $Q_8$ generata da specifiche involuzioni e permutazioni produce $Am_3(X, Q_8) \cong \mathbb{Z}/2$.
     • Questo risultato dimostra che l'analogo di un noto teorema per le superfici del Pezzo di grado superiore (dove la Condizione (A) implica l'unirazionalità) fallisce per le superfici di grado 2.

2. Solidi Quartici Doppi di Kummer (Teorema 4): Lo studio si estende ai doppi rivestimenti di $\mathbb{P}^3$ ramificati in una superficie di Kummer (derivante dalla Jacobiana di una curva di genere 2 con automorfismi massimi).

   • Gli autori calcolano $Am_3(\tilde{X}, G)$ per il blow-up $\tilde{X}$ dei 16 nodi.
   • Identificano che $Am_3(\tilde{X}, H) \neq 0$ se e solo se $G$ contiene un sottogruppo coniugato a una specifica azione di $Q_8$.
   • A differenza del caso delle superfici, il calcolo rivela che può esistere un gruppo di Brauer non triviale dello stack di quotient anche in assenza di divisori con stabilizzatori generici non triviali, richiedendo l'analisi di strati di dimensione superiore.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio rivendica di fornire nuove ostruzioni coomologiche che sono distinte dall'esistenza di punti fissi.

• Sottigliezza della Geometria Equivariante: I risultati evidenziano una "differenza netta" tra la geometria birazionale su un campo $k$ (dove i punti razionali sono l'ostruzione primaria) e la geometria equivariante sullo stack $BG$. Nel contesto equivariante, invarianti come $Am_3$ sono "molto sottili e informativi".
• Fallimento della Condizione (A): Il saggio mostra esplicitamente che, per le superfici del Pezzo di grado 2, l'esistenza di punti fissi per tutti i sottogruppi abeliani (Condizione A) non è sufficiente a garantire la $G$-unirazionalità o la proiettiva $G$-unirazionalità.
• Ruolo di $Q_8$: In tutti i controesempi identificati, il gruppo quaternione $Q_8$ è la fonte dell'ostruzione non triviale.
• Conclusione: Le varietà che esibiscono questi invarianti di Amitsur non triviali non sono né $G$-unirazionali né proiettivamente $G$-unirazionali, fornendo un metodo concreto per escludere l'unirazionalità equivariante anche quando i criteri geometrici sui punti fissi sono soddisfatti.