Torsion groups of elliptic curves that appear infinitely often over septic fields

1. Problemstellung

Das Papier behandelt ein grundlegendes Problem in der Arithmetik elliptischer Kurven: die Bestimmung der Menge möglicher Torsionsuntergruppen für elliptische Kurven, die über Zahlkörpern eines bestimmten Grades definiert sind.

• Kontext: Nach dem Satz von Mordell-Weil ist die Gruppe der rationalen Punkte $E(K)$ auf einer elliptischen Kurve über einem Zahlkörper $K$ endlich erzeugt. Die Torsionsuntergruppe $E(K)_{\text{tors}}$ ist endlich und isomorph zu $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (bezeichnet als $(m, n)$).
• Definitionen:
  • $\Phi(d)$: Die Menge aller möglichen Torsionsgruppen für elliptische Kurven über irgendeinem Zahlkörper vom Grad $d$.
  • $\Phi_\infty(d)$: Die Teilmenge von $\Phi(d)$, die aus Gruppen besteht, die als Torsionsuntergruppen für unendlich viele nicht-isomorphe (über $\mathbb{Q}$) elliptische Kurven über Körpern vom Grad $d$ auftreten.
• Die Lücke: Während $\Phi_\infty(d)$ für Grade $d \le 6$ bekannt war (bestimmt von Derickx, Sutherland, Jeon, Kim und anderen), war die Menge $\Phi_\infty(7)$ (septische Körper) zum Zeitpunkt der Abfassung noch unbestimmt. Die vollständige Menge $\Phi(d)$ für $d > 4$ bleibt unbekannt, doch die Bestimmung der „unendlichen" Teilmenge $\Phi_\infty(d)$ ist ein entscheidender Schritt zum Verständnis der arithmetischen Landschaft dieser Kurven.

2. Methodik

Der Autor verwendet eine Kombination aus theoretischen Schranken, der Geometrie modularer Kurven und computergestützter algebraischer Geometrie, um $\Phi_\infty(7)$ zu bestimmen.

A. Theoretischer Rahmen

1. Zyklische Gruppen vs. Produktgruppen:
   • Für einen septischen Körper (Grad 7) ist die Gruppenstruktur $(m, n)$ eingeschränkt. Da $E(K)$ nur dann $(n, n)$ enthalten kann, wenn $\mathbb{Q}(\zeta_n) \subset K$ gilt, und $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = \phi(n)$ ist, folgt für Grad 7, dass $m$ entweder 1 oder 2 sein muss. Somit beschränkt sich die Suche auf zyklische Gruppen $(1, n)$ und Gruppen der Form $(2, 2n)$.
2. Gonalität und Dichte-Grad:
   • Das Papier nutzt das Konzept der Gonalität ($\text{gon}_K X$), den kleinsten Grad eines Morphismus von einer Kurve $X$ nach $\mathbb{P}^1$, der über $K$ definiert ist.
   • Proposition 2.1 (von Derickx-Sutherland) stellt einen Zusammenhang zwischen dem minimalen Dichte-Grad $\delta(X/K)$ (der kleinste Grad $n$, sodass $X$ unendlich viele Punkte vom Grad $n$ besitzt) und der Gonalität her: $\delta(X/K) \le \text{gon}_K X \le 2\delta(X/K)$.
   • Entscheidend ist: Wenn der Rang der Jacobischen $J(X)(\mathbb{Q})$ gleich 0 ist, dann gilt $\delta(X/\mathbb{Q}) = \text{gon}_{\mathbb{Q}} X$.
   • Fazit: Um zu beweisen, dass eine Gruppe $G \in \Phi_\infty(7)$ liegt, muss gezeigt werden, dass die entsprechende modulare Kurve $X$ unendlich viele Punkte vom Grad 7 besitzt. Dies ist garantiert, wenn $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \le 7$ (und die Rangbedingungen erfüllt sind). Umgekehrt, wenn $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, tritt die Gruppe nicht unendlich oft auf.

B. Computergestützte Strategie

Der Beweis stützt sich stark auf die Berechnung der Gonalität modularer Kurven $X_1(2, 2n)$ über endlichen Körpern, um die Gonalität über $\mathbb{Q}$ zu begrenzen.

• Untere Schranken: Der Autor verwendet die Ungleichung $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \ge \text{gon}_{\mathbb{F}_p} X$ für Primzahlen $p$ von guter Reduktion.
• Techniken:
  • Abramovichs Schranke: Wird verwendet, um hohe Gonalität für große $n$ ($n \ge 16$) über Indexberechnungen von Kongruenzuntergruppen zu etablieren.
  • Derickx-Terao [DT26] Algorithmen: Neue Techniken zur Berechnung von Klassengruppen und Gonalitäten von Kurven über endlichen Körpern wurden genutzt, um exakte oder untere Schranken für die Gonalität in spezifischen Fällen ($11 \le n \le 15$) zu berechnen.
  • Castelnuovo-Severi-Ungleichung: Speziell für den Fall $n=15$ angewendet, um aufwendige Berechnungen zu vermeiden, indem die Geometrie von Abbildungen zwischen $X_1(2, 30)$ und $X_1(30)$ analysiert wird.

3. Hauptbeiträge und Ergebnisse

Das Hauptergebnis ist Satz 1.1, der $\Phi_\infty(7)$ vollständig charakterisiert:
$$\Phi_\infty(7) = \{(1, n) : 1 \le n \le 30, n \notin \{25, 29\}\} \cup \{(2, 2n) : 1 \le n \le 10\}$$

Der Beweis wird in drei Lemmata aufgeteilt, die verschiedene Bereiche von $n$ behandeln:

1. Zyklische Gruppen $(1, n)$:

   • Unter Berufung auf Satz 2.2 (von Derickx-Van Hoeij) zitiert der Autor, dass zyklische Gruppen $(1, n)$ genau dann in $\Phi_\infty(7)$ liegen, wenn $1 \le n \le 30$ und $n \neq 25, 29$. Dieser Teil des Ergebnisses war bereits zuvor etabliert.

2. Produktgruppen $(2, 2n)$ für $n \ge 16$:

   • Lemma 3.1 beweist, dass für $n \ge 16$ die Gonalität der modularen Kurve $X_1(2, 2n)$ über $\mathbb{Q}$ strikt größer als 7 ist.
   • Dies wird erreicht, indem Abramovichs untere Schranke für die Gonalität mit dem Index der Kongruenzuntergruppe $\Gamma_1(2, 2n)$ kombiniert wird. Da $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, können diese Gruppen nicht unendlich oft über Körpern vom Grad 7 auftreten.

3. Produktgruppen $(2, 2n)$ für $n \le 10$:

   • Lemma 3.2 bestätigt, dass diese Gruppen tatsächlich unendlich oft auftreten.
   • Für $n \le 6$ folgt dies aus Genusüberlegungen ($g \le 1$) und dem Irreduzibilitätssatz von Hilbert.
   • Für $7 \le n \le 10$ stützt sich das Ergebnis auf unveröffentlichten Code von Maarten Derickx, der explizit modulare Einheiten vom Grad 7 konstruiert und so die Existenz unendlich vieler Punkte vom Grad 7 beweist.

4. Die kritische Lücke: $11 \le n \le 15$:

   • Lemma 3.3 ist der neue Beitrag dieses Papiers. Es beweist, dass $(2, 2n) \notin \Phi_\infty(7)$ für $n \in \{11, 12, 13, 14, 15\}$ gilt.
   • Der Autor berechnet die Gonalität von $X_1(2, 2n)$ über kleinen endlichen Körpern ($\mathbb{F}_3, \mathbb{F}_7$).
   • Ergebnisse:
     • $n=11, 12$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} \ge 8$.
     • $n=13, 14$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} = 12$.
     • $n=15$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_7} \ge 8$ (über die Castelnuovo-Severi-Ungleichung verifiziert).
   • Da der Rang der Jacobischen $J_1(2, 2n)(\mathbb{Q})$ für diese $n$ gleich 0 ist (Satz 2.3), gilt die Bedingung $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, was diese Gruppen von $\Phi_\infty(7)$ ausschließt.

4. Bedeutung

• Vollständigkeit: Dieses Papier schließt eine große Lücke in der Klassifikation der Torsionsgruppen elliptischer Kurven über Zahlkörpern. Es liefert die erste vollständige Beschreibung von $\Phi_\infty(7)$.
• Methodischer Fortschritt: Das Papier demonstriert die Kraft der Kombination klassischer algebraischer Geometrie (Gonalitätsschranken, Castelnuovo-Severi) mit moderner computergestützter Zahlentheorie (Derickx-Terao-Algorithmen für Gonalitäten über endlichen Körpern).
• Grundlage für zukünftige Arbeiten: Obwohl $\Phi(7)$ (die Menge aller möglichen Torsionsgruppen, einschließlich derer, die nur endlich oft auftreten) weiterhin unbekannt ist, ist die Bestimmung von $\Phi_\infty(7)$ eine Voraussetzung für die Bewältigung der vollständigen Menge. Die hier verwendeten Methoden, insbesondere die computergestützte Verifikation der Gonalitäten für spezifische modulare Kurven, setzen einen Präzedenzfall für die Analyse von Körpern höheren Grades.
• Verifizierung von Vermutungen: Die Ergebnisse bestätigen, dass sich das „unendliche" Verhalten von Torsionsgruppen bis zum Grad 7 in einem vorhersehbaren Muster stabilisiert, mit spezifischen Ausschlüssen (wie $n=25, 29$ für zyklische Gruppen und $n \ge 11$ für Produktgruppen), die durch die geometrische Komplexität (Gonalität) der zugrunde liegenden modularen Kurven getrieben werden.

Zusammenfassend bestimmt Najman erfolgreich, dass über septischen Körpern die einzigen Torsionsgruppen, die unendlich oft auftreten, zyklische Gruppen bis zur Ordnung 30 (mit Ausnahme von 25 und 29) sowie Produktgruppen der Form $(2, 2n)$ sind, wobei $n \le 10$ gilt.