Torsion groups of elliptic curves that appear infinitely often over septic fields

1. Probleemstelling

Het artikel behandelt een fundamenteel probleem in de rekenkunde van elliptische krommen: het bepalen van de verzameling van mogelijke torsie-ondergroepen voor elliptische krommen gedefinieerd over getallenlichamen van een specifieke graad.

• Context: Volgens de stelling van Mordell-Weil is de groep van rationale punten $E(K)$ op een elliptische kromme over een getallenlichaam $K$ eindig gegenereerd. De torsie-ondergroep $E(K)_{\text{tors}}$ is eindig en isomorf met $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (aangeduid als $(m, n)$).
• Definities:
  • $\Phi(d)$: De verzameling van alle mogelijke torsiegroepen voor elliptische krommen over elk getallenlichaam van graad $d$.
  • $\Phi_\infty(d)$: Het deelverzameling van $\Phi(d)$ bestaande uit groepen die voorkomen als torsie-ondergroepen voor oneindig veel niet-isomorfe (over $\mathbb{Q}$) elliptische krommen over velden van graad $d$.
• Het Gat: Hoewel $\Phi_\infty(d)$ bekend was voor graden $d \le 6$ (bepaald door Derickx, Sutherland, Jeon, Kim en anderen), was de verzameling $\Phi_\infty(7)$ (septische velden) op het moment van schrijven nog onbepaald. De volledige verzameling $\Phi(d)$ voor $d > 4$ blijft onbekend, maar het bepalen van de "oneindige" deelverzameling $\Phi_\infty(d)$ is een kritieke stap in het begrijpen van het rekenkundige landschap van deze krommen.

2. Methodologie

De auteur maakt gebruik van een combinatie van theoretische grenzen, meetkunde van modulaire krommen en computationele algebraïsche meetkunde om $\Phi_\infty(7)$ te bepalen.

A. Theoretisch Kader

1. Cyclische versus Productgroepen:
   • Voor een septisch veld (graad 7) is de groepstructuur $(m, n)$ beperkt. Aangezien $E(K)$ alleen $(n, n)$ kan bevatten als $\mathbb{Q}(\zeta_n) \subset K$, en $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = \phi(n)$, volgt dat voor graad 7, $m$ gelijk moet zijn aan 1 of 2. De zoektocht is dus beperkt tot cyclische groepen $(1, n)$ en groepen van de vorm $(2, 2n)$.
2. Gonaliteit en Dichtheidsgraad:
   • Het artikel maakt gebruik van het concept gonaliteit ($\text{gon}_K X$), de kleinste graad van een morfisme van een kromme $X$ naar $\mathbb{P}^1$ gedefinieerd over $K$.
   • Propositie 2.1 (van Derickx-Sutherland) stelt een link vast tussen de minimale dichtheidsgraad $\delta(X/K)$ (de kleinste graad $n$ zodat $X$ oneindig veel punten van graad $n$ heeft) en gonaliteit: $\delta(X/K) \le \text{gon}_K X \le 2\delta(X/K)$.
   • Cruciaal is dat, als de rang van de Jacobiaan $J(X)(\mathbb{Q})$ gelijk is aan 0, dan geldt $\delta(X/\mathbb{Q}) = \text{gon}_{\mathbb{Q}} X$.
   • Conclusie: Om te bewijzen dat een groep $G \in \Phi_\infty(7)$, moet men aantonen dat de corresponderende modulaire kromme $X$ oneindig veel punten van graad 7 heeft. Dit is gegarandeerd als $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \le 7$ (en rangvoorwaarden zijn vervuld). Omgekeerd, als $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, komt de groep niet oneindig vaak voor.

B. Computationele Strategie

Het bewijs steunt zwaar op het berekenen van de gonaliteit van modulaire krommen $X_1(2, 2n)$ over eindige velden om de gonaliteit over $\mathbb{Q}$ te begrenzen.

• Ondersgrenzen: De auteur gebruikt de ongelijkheid $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \ge \text{gon}_{\mathbb{F}_p} X$ voor priemgetallen $p$ van goede reductie.
• Technieken:
  • Abramovich's Grens: Gebruikt om hoge gonaliteit te vestigen voor grote $n$ ($n \ge 16$) via indexberekeningen van congruentieondergroepen.
  • Algoritmen van Derickx-Terao [DT26]: Nieuwe technieken voor het berekenen van klasgroepen en gonaliteiten van krommen over eindige velden werden gebruikt om exacte of ondersgrens-gonaliteiten te berekenen voor specifieke gevallen ($11 \le n \le 15$).
  • Ongelijkheid van Castelnuovo-Severi: Specifiek toegepast voor het geval $n=15$ om zware berekening te vermijden door de meetkunde van afbeeldingen tussen $X_1(2, 30)$ en $X_1(30)$ te analyseren.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Het hoofdresultaat is Stelling 1.1, die $\Phi_\infty(7)$ volledig karakteriseert:
$$\Phi_\infty(7) = \{(1, n) : 1 \le n \le 30, n \notin \{25, 29\}\} \cup \{(2, 2n) : 1 \le n \le 10\}$$

Het bewijs is opgesplitst in drie lemmata die verschillende bereiken van $n$ behandelen:

1. Cyclische Groepen $(1, n)$:

   • Leunend op Stelling 2.2 (van Derickx-Van Hoeij), citeert de auteur dat cyclische groepen $(1, n)$ in $\Phi_\infty(7)$ zitten dan en slechts dan als $1 \le n \le 30$ en $n \neq 25, 29$. Dit deel van het resultaat was eerder vastgesteld.

2. Productgroepen $(2, 2n)$ voor $n \ge 16$:

   • Lemma 3.1 bewijst dat voor $n \ge 16$, de gonaliteit van de modulaire kromme $X_1(2, 2n)$ over $\mathbb{Q}$ strikt groter is dan 7.
   • Dit wordt bereikt door de ondersgrens van Abramovich voor gonaliteit te combineren met de index van de congruentieondergroep $\Gamma_1(2, 2n)$. Aangezien $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, kunnen deze groepen niet oneindig vaak voorkomen over velden van graad 7.

3. Productgroepen $(2, 2n)$ voor $n \le 10$:

   • Lemma 3.2 bevestigt dat deze groepen wel oneindig vaak voorkomen.
   • Voor $n \le 6$ volgt dit uit genusoverwegingen ($g \le 1$) en de Stelling van Hilbert over onherleidbaarheid.
   • Voor $7 \le n \le 10$ rust het resultaat op onuitgegeven code van Maarten Derickx die expliciet modulaire eenheden van graad 7 construeert, waarmee het bestaan van oneindig veel punten van graad 7 wordt bewezen.

4. Het Kritieke Gat: $11 \le n \le 15$:

   • Lemma 3.3 is de nieuwe bijdrage van dit artikel. Het bewijst dat $(2, 2n) \notin \Phi_\infty(7)$ voor $n \in \{11, 12, 13, 14, 15\}$.
   • De auteur berekent de gonaliteit van $X_1(2, 2n)$ over kleine eindige velden ($\mathbb{F}_3, \mathbb{F}_7$).
   • Resultaten:
     • $n=11, 12$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} \ge 8$.
     • $n=13, 14$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} = 12$.
     • $n=15$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_7} \ge 8$ (geverifieerd via de ongelijkheid van Castelnuovo-Severi).
   • Aangezien de rang van de Jacobiaan $J_1(2, 2n)(\mathbb{Q})$ gelijk is aan 0 voor deze $n$ (Stelling 2.3), geldt de voorwaarde $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, waardoor deze groepen worden uitgesloten van $\Phi_\infty(7)$.

4. Betekenis

• Volledigheid: Dit artikel sluit een belangrijk gat in de classificatie van torsiegroepen voor elliptische krommen over getallenlichamen. Het biedt de eerste volledige beschrijving van $\Phi_\infty(7)$.
• Methodologische Vooruitgang: Het artikel demonstreert de kracht van het combineren van klassieke algebraïsche meetkunde (gonaliteitsgrenzen, Castelnuovo-Severi) met moderne computationele getaltheorie (algoritmen van Derickx-Terao voor gonaliteiten over eindige velden).
• Fundering voor Toekomstig Werk: Hoewel $\Phi(7)$ (de verzameling van alle mogelijke torsiegroepen, inclusief die die eindig vaak voorkomen) nog onbekend is, is het bepalen van $\Phi_\infty(7)$ een vereiste om de volledige verzameling aan te pakken. De hier gebruikte methoden, met name de computationele verificatie van gonaliteiten voor specifieke modulaire krommen, stellen een precedent voor het analyseren van velden van hogere graad.
• Verificatie van Vermoedens: De resultaten bevestigen dat het "oneindige" gedrag van torsiegroepen zich stabiliseert in een voorspelbaar patroon tot graad 7, met specifieke uitsluitingen (zoals $n=25, 29$ voor cyclische groepen en $n \ge 11$ voor productgroepen) gedreven door de meetkundige complexiteit (gonaliteit) van de onderliggende modulaire krommen.

Samenvattend bepaalt Najman succesvol dat over septische velden de enige torsiegroepen die oneindig vaak voorkomen cyclische groepen zijn tot orde 30 (met uitzondering van 25 en 29) en productgroepen van de vorm $(2, 2n)$ waarbij $n \le 10$.