Torsion groups of elliptic curves that appear infinitely often over septic fields

1. Enunciado del Problema

El artículo aborda un problema fundamental en la aritmética de las curvas elípticas: determinar el conjunto de subgrupos de torsión posibles para curvas elípticas definidas sobre cuerpos de números de un grado específico.

• Contexto: Según el teorema de Mordell-Weil, el grupo de puntos racionales $E(K)$ sobre una curva elíptica definida sobre un cuerpo de números $K$ es finitamente generado. El subgrupo de torsión $E(K)_{\text{tors}}$ es finito e isomorfo a $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (denotado como $(m, n)$).
• Definiciones:
  • $\Phi(d)$: El conjunto de todos los grupos de torsión posibles para curvas elípticas sobre cualquier cuerpo de números de grado $d$.
  • $\Phi_\infty(d)$: El subconjunto de $\Phi(d)$ formado por los grupos que aparecen como subgrupos de torsión para infinitas curvas elípticas no isomorfas (sobre $\mathbb{Q}$) sobre cuerpos de grado $d$.
• La Brecha: Mientras que $\Phi_\infty(d)$ era conocido para grados $d \le 6$ (determinado por Derickx, Sutherland, Jeon, Kim y otros), el conjunto $\Phi_\infty(7)$ (cuerpos sépticos) permanecía indeterminado en el momento de la redacción. El conjunto completo $\Phi(d)$ para $d > 4$ sigue siendo desconocido, pero determinar el subconjunto "infinito" $\Phi_\infty(d)$ es un paso crítico para comprender el paisaje aritmético de estas curvas.

2. Metodología

El autor emplea una combinación de cotas teóricas, geometría de curvas modulares y geometría algebraica computacional para determinar $\Phi_\infty(7)$.

A. Marco Teórico

1. Grupos Cíclicos vs. Productos:
   • Para un cuerpo séptico (grado 7), la estructura del grupo $(m, n)$ está restringida. Dado que $E(K)$ puede contener $(n, n)$ solo si $\mathbb{Q}(\zeta_n) \subset K$, y $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = \phi(n)$, se deduce que para grado 7, $m$ debe ser 1 o 2. Por lo tanto, la búsqueda se limita a grupos cíclicos $(1, n)$ y grupos de la forma $(2, 2n)$.
2. Gonalidad y Grado de Densidad:
   • El artículo utiliza el concepto de gonalidad ($\text{gon}_K X$), el menor grado de un morfismo desde una curva $X$ a $\mathbb{P}^1$ definido sobre $K$.
   • La Proposición 2.1 (de Derickx-Sutherland) establece un vínculo entre el grado de densidad mínimo $\delta(X/K)$ (el menor grado $n$ tal que $X$ tiene infinitos puntos de grado $n$) y la gonalidad: $\delta(X/K) \le \text{gon}_K X \le 2\delta(X/K)$.
   • Crucialmente, si el rango del Jacobiano $J(X)(\mathbb{Q})$ es 0, entonces $\delta(X/\mathbb{Q}) = \text{gon}_{\mathbb{Q}} X$.
   • Conclusión: Para probar que un grupo $G \in \Phi_\infty(7)$, se debe demostrar que la curva modular correspondiente $X$ tiene infinitos puntos de grado 7. Esto está garantizado si $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \le 7$ (y se cumplen las condiciones de rango). Por el contrario, si $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, el grupo no aparece infinitas veces.

B. Estrategia Computacional

La prueba depende en gran medida del cálculo de la gonalidad de curvas modulares $X_1(2, 2n)$ sobre cuerpos finitos para acotar la gonalidad sobre $\mathbb{Q}$.

• Cotas Inferiores: El autor utiliza la desigualdad $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \ge \text{gon}_{\mathbb{F}_p} X$ para primos $p$ de buena reducción.
• Técnicas:
  • Cota de Abramovich: Utilizada para establecer gonalidades altas para $n$ grandes ($n \ge 16$) mediante cálculos de índices de subgrupos de congruencia.
  • Algoritmos de Derickx-Terao [DT26]: Se utilizaron nuevas técnicas para calcular grupos de clases y gonalidades de curvas sobre cuerpos finitos para computar gonalidades exactas o cotas inferiores para casos específicos ($11 \le n \le 15$).
  • Desigualdad de Castelnuovo-Severi: Aplicada específicamente para el caso $n=15$ para evitar cálculos pesados mediante el análisis de la geometría de los mapas entre $X_1(2, 30)$ y $X_1(30)$.

3. Contribuciones y Resultados Clave

El resultado principal es el Teorema 1.1, que caracteriza completamente $\Phi_\infty(7)$:
$$\Phi_\infty(7) = \{(1, n) : 1 \le n \le 30, n \notin \{25, 29\}\} \cup \{(2, 2n) : 1 \le n \le 10\}$$

La prueba se divide en tres lemas que abordan diferentes rangos de $n$:

1. Grupos Cíclicos $(1, n)$:

   • Basándose en el Teorema 2.2 (de Derickx-Van Hoeij), el autor cita que los grupos cíclicos $(1, n)$ están en $\Phi_\infty(7)$ si y solo si $1 \le n \le 30$ y $n \neq 25, 29$. Esta parte del resultado ya estaba establecida previamente.

2. Grupos Producto $(2, 2n)$ para $n \ge 16$:

   • El Lema 3.1 demuestra que para $n \ge 16$, la gonalidad de la curva modular $X_1(2, 2n)$ sobre $\mathbb{Q}$ es estrictamente mayor que 7.
   • Esto se logra combinando la cota inferior de Abramovich sobre la gonalidad con el índice del subgrupo de congruencia $\Gamma_1(2, 2n)$. Dado que $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, estos grupos no pueden aparecer infinitas veces sobre cuerpos de grado 7.

3. Grupos Producto $(2, 2n)$ para $n \le 10$:

   • El Lema 3.2 confirma que estos grupos sí aparecen infinitas veces.
   • Para $n \le 6$, esto se deduce de consideraciones de género ($g \le 1$) y del Teorema de Irreducibilidad de Hilbert.
   • Para $7 \le n \le 10$, el resultado se basa en código no publicado de Maarten Derickx que construye explícitamente unidades modulares de grado 7, probando la existencia de infinitos puntos de grado 7.

4. La Brecha Crítica: $11 \le n \le 15$:

   • El Lema 3.3 es la contribución novedosa de este artículo. Demuestra que $(2, 2n) \notin \Phi_\infty(7)$ para $n \in \{11, 12, 13, 14, 15\}$.
   • El autor calcula la gonalidad de $X_1(2, 2n)$ sobre pequeños cuerpos finitos ($\mathbb{F}_3, \mathbb{F}_7$).
   • Resultados:
     • $n=11, 12$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} \ge 8$.
     • $n=13, 14$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} = 12$.
     • $n=15$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_7} \ge 8$ (verificado mediante la desigualdad de Castelnuovo-Severi).
   • Dado que el rango del Jacobiano $J_1(2, 2n)(\mathbb{Q})$ es 0 para estos $n$ (Teorema 2.3), se cumple la condición $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, excluyendo estos grupos de $\Phi_\infty(7)$.

4. Significado

• Completitud: Este artículo cierra una brecha importante en la clasificación de grupos de torsión para curvas elípticas sobre cuerpos de números. Proporciona la primera descripción completa de $\Phi_\infty(7)$.
• Avance Metodológico: El artículo demuestra el poder de combinar la geometría algebraica clásica (cotas de gonalidad, Castelnuovo-Severi) con la teoría de números computacional moderna (algoritmos de Derickx-Terao para gonalidades sobre cuerpos finitos).
• Fundamento para Trabajos Futuros: Aunque $\Phi(7)$ (el conjunto de todos los grupos de torsión posibles, incluidos los que aparecen finitas veces) sigue siendo desconocido, determinar $\Phi_\infty(7)$ es un prerrequisito para abordar el conjunto completo. Los métodos utilizados aquí, particularmente la verificación computacional de gonalidades para curvas modulares específicas, establecen un precedente para el análisis de cuerpos de grado superior.
• Verificación de Conjeturas: Los resultados confirman que el comportamiento "infinito" de los grupos de torsión se estabiliza en un patrón predecible hasta el grado 7, con exclusiones específicas (como $n=25, 29$ para grupos cíclicos y $n \ge 11$ para grupos producto) impulsadas por la complejidad geométrica (gonalidad) de las curvas modulares subyacentes.

En resumen, Najman determina exitosamente que sobre cuerpos sépticos, los únicos grupos de torsión que aparecen infinitas veces son grupos cíclicos hasta orden 30 (excluyendo 25 y 29) y grupos producto de la forma $(2, 2n)$ donde $n \le 10$.