Torsion groups of elliptic curves that appear infinitely often over septic fields

1. Formulação do Problema

O artigo aborda um problema fundamental na aritmética das curvas elípticas: determinar o conjunto dos subgrupos de torção possíveis para curvas elípticas definidas sobre corpos numéricos de um grau específico.

• Contexto: Pelo teorema de Mordell-Weil, o grupo de pontos racionais $E(K)$ sobre uma curva elíptica definida sobre um corpo numérico $K$ é finitamente gerado. O subgrupo de torção $E(K)_{\text{tors}}$ é finito e isomorfo a $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (denotado como $(m, n)$).
• Definições:
  • $\Phi(d)$: O conjunto de todos os grupos de torção possíveis para curvas elípticas sobre qualquer corpo numérico de grau $d$.
  • $\Phi_\infty(d)$: O subconjunto de $\Phi(d)$ consistindo em grupos que aparecem como subgrupos de torção para infinitas curvas elípticas não isomórficas (sobre $\mathbb{Q}$) sobre corpos de grau $d$.
• A Lacuna: Embora $\Phi_\infty(d)$ fosse conhecido para graus $d \le 6$ (determinado por Derickx, Sutherland, Jeon, Kim e outros), o conjunto $\Phi_\infty(7)$ (corpos séticos) era indeterminado no momento da redação. O conjunto completo $\Phi(d)$ para $d > 4$ permanece desconhecido, mas determinar o subconjunto "infinito" $\Phi_\infty(d)$ é um passo crítico para compreender a paisagem aritmética dessas curvas.

2. Metodologia

O autor emprega uma combinação de limites teóricos, geometria de curvas modulares e geometria algébrica computacional para determinar $\Phi_\infty(7)$.

A. Estrutura Teórica

1. Grupos Cíclicos vs. Produtos:
   • Para um corpo sético (grau 7), a estrutura do grupo $(m, n)$ é restrita. Como $E(K)$ pode conter $(n, n)$ apenas se $\mathbb{Q}(\zeta_n) \subset K$, e $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = \phi(n)$, segue-se que para grau 7, $m$ deve ser 1 ou 2. Assim, a busca é limitada a grupos cíclicos $(1, n)$ e grupos da forma $(2, 2n)$.
2. Gonalidade e Grau de Densidade:
   • O artigo utiliza o conceito de gonalidade ($\text{gon}_K X$), o menor grau de um morfismo de uma curva $X$ para $\mathbb{P}^1$ definido sobre $K$.
   • A Proposição 2.1 (de Derickx-Sutherland) estabelece uma ligação entre o grau de densidade mínimo $\delta(X/K)$ (o menor grau $n$ tal que $X$ possui infinitos pontos de grau $n$) e a gonalidade: $\delta(X/K) \le \text{gon}_K X \le 2\delta(X/K)$.
   • Crucialmente, se o posto do Jacobiano $J(X)(\mathbb{Q})$ for 0, então $\delta(X/\mathbb{Q}) = \text{gon}_{\mathbb{Q}} X$.
   • Conclusão: Para provar que um grupo $G \in \Phi_\infty(7)$, deve-se mostrar que a curva modular correspondente $X$ possui infinitos pontos de grau 7. Isso é garantido se $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \le 7$ (e as condições de posto forem atendidas). Por outro lado, se $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, o grupo não aparece infinitas vezes.

B. Estratégia Computacional

A prova depende fortemente do cálculo da gonalidade de curvas modulares $X_1(2, 2n)$ sobre corpos finitos para limitar a gonalidade sobre $\mathbb{Q}$.

• Limites Inferiores: O autor usa a desigualdade $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \ge \text{gon}_{\mathbb{F}_p} X$ para primos $p$ de boa redução.
• Técnicas:
  • Limite de Abramovich: Usado para estabelecer gonalidade alta para $n$ grande ($n \ge 16$) via cálculos de índice de subgrupos de congruência.
  • Algoritmos Derickx-Terao [DT26]: Novas técnicas para calcular grupos de classe e gonalidades de curvas sobre corpos finitos foram utilizadas para calcular gonalidades exatas ou limites inferiores para casos específicos ($11 \le n \le 15$).
  • Desigualdade de Castelnuovo-Severi: Aplicada especificamente para o caso $n=15$ para evitar computação pesada, analisando a geometria de mapas entre $X_1(2, 30)$ e $X_1(30)$.

3. Contribuições e Resultados Chave

O resultado principal é o Teorema 1.1, que caracteriza completamente $\Phi_\infty(7)$:
$$\Phi_\infty(7) = \{(1, n) : 1 \le n \le 30, n \notin \{25, 29\}\} \cup \{(2, 2n) : 1 \le n \le 10\}$$

A prova é dividida em três lemas que abordam diferentes faixas de $n$:

1. Grupos Cíclicos $(1, n)$:

   • Baseando-se no Teorema 2.2 (de Derickx-Van Hoeij), o autor cita que os grupos cíclicos $(1, n)$ estão em $\Phi_\infty(7)$ se e somente se $1 \le n \le 30$ e $n \neq 25, 29$. Esta parte do resultado já havia sido estabelecida anteriormente.

2. Grupos Produto $(2, 2n)$ para $n \ge 16$:

   • O Lema 3.1 prova que para $n \ge 16$, a gonalidade da curva modular $X_1(2, 2n)$ sobre $\mathbb{Q}$ é estritamente maior que 7.
   • Isso é alcançado combinando o limite inferior de gonalidade de Abramovich com o índice do subgrupo de congruência $\Gamma_1(2, 2n)$. Como $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, esses grupos não podem aparecer infinitas vezes sobre corpos de grau 7.

3. Grupos Produto $(2, 2n)$ para $n \le 10$:

   • O Lema 3.2 confirma que esses grupos aparecem infinitas vezes.
   • Para $n \le 6$, isso segue de considerações de gênero ($g \le 1$) e do Teorema da Irredutibilidade de Hilbert.
   • Para $7 \le n \le 10$, o resultado baseia-se em código não publicado de Maarten Derickx, que constrói explicitamente unidades modulares de grau 7, provando a existência de infinitos pontos de grau 7.

4. A Lacuna Crítica: $11 \le n \le 15$:

   • O Lema 3.3 é a contribuição novel deste artigo. Ele prova que $(2, 2n) \notin \Phi_\infty(7)$ para $n \in \{11, 12, 13, 14, 15\}$.
   • O autor calcula a gonalidade de $X_1(2, 2n)$ sobre pequenos corpos finitos ($\mathbb{F}_3, \mathbb{F}_7$).
   • Resultados:
     • $n=11, 12$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} \ge 8$.
     • $n=13, 14$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} = 12$.
     • $n=15$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_7} \ge 8$ (verificado via desigualdade de Castelnuovo-Severi).
   • Como o posto do Jacobiano $J_1(2, 2n)(\mathbb{Q})$ é 0 para estes $n$ (Teorema 2.3), a condição $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$ se mantém, excluindo esses grupos de $\Phi_\infty(7)$.

4. Significado

• Completude: Este artigo fecha uma lacuna importante na classificação dos grupos de torção para curvas elípticas sobre corpos numéricos. Fornece a primeira descrição completa de $\Phi_\infty(7)$.
• Avanço Metodológico: O artigo demonstra o poder de combinar geometria algébrica clássica (limites de gonalidade, Castelnuovo-Severi) com teoria dos números computacional moderna (algoritmos Derickx-Terao para gonalidades sobre corpos finitos).
• Fundação para Trabalhos Futuros: Embora $\Phi(7)$ (o conjunto de todos os grupos de torção possíveis, incluindo aqueles que aparecem finitas vezes) permaneça desconhecido, determinar $\Phi_\infty(7)$ é um pré-requisito para abordar o conjunto completo. Os métodos usados aqui, particularmente a verificação computacional de gonalidades para curvas modulares específicas, estabelecem um precedente para a análise de corpos de grau superior.
• Verificação de Conjecturas: Os resultados confirmam que o comportamento "infinito" dos grupos de torção se estabiliza em um padrão previsível até o grau 7, com exclusões específicas (como $n=25, 29$ para grupos cíclicos e $n \ge 11$ para grupos produto) impulsionadas pela complexidade geométrica (gonalidade) das curvas modulares subjacentes.

Em resumo, Najman determina com sucesso que sobre corpos séticos, os únicos grupos de torção que aparecem infinitas vezes são grupos cíclicos até ordem 30 (excluindo 25 e 29) e grupos produto da forma $(2, 2n)$ onde $n \le 10$.