Torsion groups of elliptic curves that appear infinitely often over septic fields

1. Enunciato del Problema

L'articolo affronta un problema fondamentale nell'aritmetica delle curve ellittiche: determinare l'insieme dei possibili sottogruppi di torsione per curve ellittiche definite su campi di numeri di un grado specifico.

• Contesto: Per il teorema di Mordell-Weil, il gruppo dei punti razionali $E(K)$ su una curva ellittica definita su un campo di numeri $K$ è finitamente generato. Il sottogruppo di torsione $E(K)_{\text{tors}}$ è finito ed è isomorfo a $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (denotato come $(m, n)$).
• Definizioni:
  • $\Phi(d)$: L'insieme di tutti i possibili gruppi di torsione per curve ellittiche su qualsiasi campo di numeri di grado $d$.
  • $\Phi_\infty(d)$: Il sottoinsieme di $\Phi(d)$ costituito dai gruppi che appaiono come sottogruppi di torsione per infiniti curve ellittiche non isomorfe (su $\mathbb{Q}$) su campi di grado $d$.
• Il Divario: Mentre $\Phi_\infty(d)$ era noto per gradi $d \le 6$ (determinato da Derickx, Sutherland, Jeon, Kim e altri), l'insieme $\Phi_\infty(7)$ (campi settenari) era indeterminato al momento della stesura. L'insieme completo $\Phi(d)$ per $d > 4$ rimane sconosciuto, ma determinare il sottoinsieme "infinito" $\Phi_\infty(d)$ è un passo critico per comprendere il panorama aritmetico di queste curve.

2. Metodologia

L'autore impiega una combinazione di limiti teorici, geometria delle curve modulari e geometria algebrica computazionale per determinare $\Phi_\infty(7)$.

A. Quadro Teorico

1. Gruppi Ciclici vs. Prodotto:
   • Per un campo settenario (grado 7), la struttura del gruppo $(m, n)$ è vincolata. Poiché $E(K)$ può contenere $(n, n)$ solo se $\mathbb{Q}(\zeta_n) \subset K$, e $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = \phi(n)$, ne consegue che per grado 7, $m$ deve essere 1 o 2. Pertanto, la ricerca è limitata ai gruppi ciclici $(1, n)$ e ai gruppi della forma $(2, 2n)$.
2. Gonalità e Grado di Densità:
   • L'articolo utilizza il concetto di gonalità ($\text{gon}_K X$), il minimo grado di un morfismo da una curva $X$ a $\mathbb{P}^1$ definito su $K$.
   • La Proposizione 2.1 (di Derickx-Sutherland) stabilisce un legame tra il grado di densità minimo $\delta(X/K)$ (il minimo grado $n$ tale che $X$ abbia infiniti punti di grado $n$) e la gonalità: $\delta(X/K) \le \text{gon}_K X \le 2\delta(X/K)$.
   • Crucialmente, se il rango del Jacobiano $J(X)(\mathbb{Q})$ è 0, allora $\delta(X/\mathbb{Q}) = \text{gon}_{\mathbb{Q}} X$.
   • Conclusione: Per dimostrare che un gruppo $G \in \Phi_\infty(7)$, si deve mostrare che la corrispondente curva modulare $X$ ha infiniti punti di grado 7. Questo è garantito se $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \le 7$ (e se sono soddisfatte le condizioni sul rango). Viceversa, se $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, il gruppo non appare infinite volte.

B. Strategia Computazionale

La prova si basa pesantemente sul calcolo della gonalità delle curve modulari $X_1(2, 2n)$ su campi finiti per limitare la gonalità su $\mathbb{Q}$.

• Limiti Inferiori: L'autore utilizza la disuguaglianza $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X \ge \text{gon}_{\mathbb{F}_p} X$ per primi $p$ di buona riduzione.
• Tecniche:
  • Limite di Abramovich: Utilizzato per stabilire una gonalità elevata per $n$ grandi ($n \ge 16$) tramite calcoli dell'indice dei sottogruppi di congruenza.
  • Algoritmi Derickx-Terao [DT26]: Nuove tecniche per calcolare i gruppi di classe e le gonalità delle curve su campi finiti sono state utilizzate per calcolare gonalità esatte o limiti inferiori per casi specifici ($11 \le n \le 15$).
  • Disuguaglianza di Castelnuovo-Severi: Applicata specificamente per il caso $n=15$ per evitare calcoli pesanti analizzando la geometria delle mappe tra $X_1(2, 30)$ e $X_1(30)$.

3. Contributi e Risultati Chiave

Il risultato principale è il Teorema 1.1, che caratterizza completamente $\Phi_\infty(7)$:
$$\Phi_\infty(7) = \{(1, n) : 1 \le n \le 30, n \notin \{25, 29\}\} \cup \{(2, 2n) : 1 \le n \le 10\}$$

La prova è suddivisa in tre lemmi che affrontano diversi intervalli di $n$:

1. Gruppi Ciclici $(1, n)$:

   • Affidandosi al Teorema 2.2 (di Derickx-Van Hoeij), l'autore cita che i gruppi ciclici $(1, n)$ sono in $\Phi_\infty(7)$ se e solo se $1 \le n \le 30$ e $n \neq 25, 29$. Questa parte del risultato era già stata stabilita in precedenza.

2. Gruppi Prodotto $(2, 2n)$ per $n \ge 16$:

   • Il Lemma 3.1 dimostra che per $n \ge 16$, la gonalità della curva modulare $X_1(2, 2n)$ su $\mathbb{Q}$ è strettamente maggiore di 7.
   • Questo è ottenuto combinando il limite inferiore di Abramovich sulla gonalità con l'indice del sottogruppo di congruenza $\Gamma_1(2, 2n)$. Poiché $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$, questi gruppi non possono apparire infinite volte su campi di grado 7.

3. Gruppi Prodotto $(2, 2n)$ per $n \le 10$:

   • Il Lemma 3.2 conferma che questi gruppi appaiono infinite volte.
   • Per $n \le 6$, ciò deriva da considerazioni sul genere ($g \le 1$) e dal Teorema di Irreducibilità di Hilbert.
   • Per $7 \le n \le 10$, il risultato si basa su codice non pubblicato di Maarten Derickx che costruisce esplicitamente unità modulari di grado 7, dimostrando l'esistenza di infiniti punti di grado 7.

4. Il Divario Critico: $11 \le n \le 15$:

   • Il Lemma 3.3 è il contributo originale di questo articolo. Dimostra che $(2, 2n) \notin \Phi_\infty(7)$ per $n \in \{11, 12, 13, 14, 15\}$.
   • L'autore calcola la gonalità di $X_1(2, 2n)$ su piccoli campi finiti ($\mathbb{F}_3, \mathbb{F}_7$).
   • Risultati:
     • $n=11, 12$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} \ge 8$.
     • $n=13, 14$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_p} = 12$.
     • $n=15$: $\text{gon}_{\mathbb{F}_7} \ge 8$ (verificato tramite la disuguaglianza di Castelnuovo-Severi).
   • Poiché il rango del Jacobiano $J_1(2, 2n)(\mathbb{Q})$ è 0 per questi $n$ (Teorema 2.3), la condizione $\text{gon}_{\mathbb{Q}} X > 7$ vale, escludendo questi gruppi da $\Phi_\infty(7)$.

4. Significato

• Completezza: Questo articolo colma una lacuna maggiore nella classificazione dei gruppi di torsione per curve ellittiche su campi di numeri. Fornisce la prima descrizione completa di $\Phi_\infty(7)$.
• Avanzamento Metodologico: L'articolo dimostra la potenza della combinazione della geometria algebrica classica (limiti di gonalità, Castelnuovo-Severi) con la teoria dei numeri computazionale moderna (algoritmi Derickx-Terao per le gonalità su campi finiti).
• Fondamento per Lavori Futuri: Sebbene $\Phi(7)$ (l'insieme di tutti i possibili gruppi di torsione, inclusi quelli che appaiono un numero finito di volte) rimanga sconosciuto, determinare $\Phi_\infty(7)$ è un prerequisito per affrontare l'insieme completo. I metodi utilizzati qui, in particolare la verifica computazionale delle gonalità per specifiche curve modulari, stabiliscono un precedente per l'analisi di campi di grado superiore.
• Verifica di Congetture: I risultati confermano che il comportamento "infinito" dei gruppi di torsione si stabilizza in un pattern prevedibile fino al grado 7, con esclusioni specifiche (come $n=25, 29$ per i gruppi ciclici e $n \ge 11$ per i gruppi prodotto) guidate dalla complessità geometrica (gonalità) delle curve modulari sottostanti.

In sintesi, Najman determina con successo che sui campi settenari, gli unici gruppi di torsione che appaiono infinite volte sono i gruppi ciclici fino all'ordine 30 (escludendo 25 e 29) e i gruppi prodotto della forma $(2, 2n)$ dove $n \le 10$.