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Analytical continuation of prime zeta function for $\Re(s)>\frac{1}{2}$ assuming (RH)

Unter der Annahme der Riemannschen Vermutung leitet das Paper einen einfachen Ausdruck zur analytischen Fortsetzung der Primzahlzetafunktion auf den Bereich $\Re(s)>\frac{1}{2}$ her, berücksichtigt dabei einen geeigneten Zweigschnitt und validiert die Formel durch numerische Berechnungen sowie Grafiken.

Ursprüngliche Autoren: Artur Kawalec

Veröffentlicht 2026-03-27

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Artur Kawalec

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich die Welt der Mathematik wie einen riesigen, unendlichen Wald vor. In diesem Wald gibt es besondere Bäume, die Primzahlen sind (2, 3, 5, 7, 11, ...). Sie sind die Bausteine aller anderen Zahlen, aber sie wachsen nicht in einer einfachen, geraden Reihe. Sie sind wild und schwer vorherzusagen.

Der Prime Zeta-Funktion (eine Art mathematisches Werkzeug) ist wie ein Fernglas, mit dem man versucht, diese Bäume von weit weg zu zählen.

Hier ist die Geschichte des Papiers von Artur Kawalec, einfach erklärt:

1. Das alte Fernglas (Das Problem)

Bisher gab es ein Fernglas (eine Formel), das nur funktionierte, wenn man sich weit genug vom Wald entfernt hatte (wenn die Zahl $s$ größer als 1 war). Wenn man sich dem Wald näherte (wenn $s$ kleiner als 1 wurde), wurde das Bild unscharf und das Fernglas ging kaputt. Man konnte nicht näher herangehen, weil die Bäume dort zu dicht gedrängt waren und das Bild zerstörten.

2. Die neue Brille (Die Lösung)

Der Autor hat eine neue, magische Brille entwickelt. Diese Brille erlaubt es uns, viel näher an den Wald heranzugehen – sogar bis an die Grenze, wo die Bäume fast zu dicht werden (bis $s > 0,5$ ).

Aber es gibt eine Bedingung: Wir müssen glauben, dass eine bestimmte mathematische Theorie stimmt, die Riemannsche Vermutung (RH).

Die Analogie: Stellen Sie sich vor, die Riemannsche Vermutung ist wie eine geheime Landkarte, die besagt: "Die Bäume sind zwar wild, aber sie halten sich an ein strenges Muster." Wenn wir dieser Karte vertrauen, funktioniert unsere neue Brille perfekt.

3. Wie funktioniert die neue Brille?

Die alte Methode war wie ein Zählen von Hand: "Ein Baum, zwei Bäume, drei Bäume..." Das ging nur, solange man weit weg stand.

Die neue Methode des Autors ist wie ein intelligenter Schätzer:

Man zählt die Bäume, die man direkt sehen kann (die kleinen Primzahlen).
Für den Rest des Waldes, der zu weit weg oder zu dicht ist, benutzt man einen mathematischen "Trick" (eine Funktion namens Exponential-Integral). Dieser Trick sagt uns: "Wenn du so viele Bäume hier siehst, dann gibt es dort drüben wahrscheinlich so viele, und zwar in dieser bestimmten Verteilung."

Der Autor zeigt, dass man diese beiden Teile (das Zählen der nahen Bäume + die mathematische Schätzung für den Rest) zusammenfügen kann, um ein klares Bild zu bekommen, auch dort, wo es vorher dunkel und unklar war.

4. Der "Riss" in der Brille (Der Schnitt)

Es gibt eine kleine Einschränkung. Die neue Brille hat einen kleinen Riss oder eine Kante (einen "Schnitt"), genau dort, wo die Dichte der Bäume am höchsten ist (zwischen 0,5 und 1).

Die Analogie: Wenn Sie durch eine Fensterscheibe schauen, die einen Riss hat, können Sie trotzdem sehen, aber Sie müssen vorsichtig sein, nicht genau auf den Riss zu starren. In der Mathematik bedeutet das, dass die Formel an dieser Stelle besonders sorgfältig behandelt werden muss, aber sie funktioniert trotzdem auf beiden Seiten des Risses.

5. Der Beweis (Der Test)

Der Autor hat nicht nur die Theorie aufgeschrieben, sondern auch einen Computer-Code (in einer Sprache namens Pari/GP) geschrieben, um das zu testen.

Er hat die alte Methode und die neue Methode nebeneinander laufen lassen.
Das Ergebnis: Die Bilder waren fast identisch! Wo die alte Methode versagte (nahe 0,5), lieferte die neue Methode immer noch ein perfektes Bild. Das bestätigt, dass die neue Formel funktioniert.

Zusammenfassung

Artur Kawalec hat eine neue Formel erfunden, die es uns erlaubt, tiefer in die Geheimnisse der Primzahlen einzutauchen als je zuvor.

Altes Limit: Man konnte nur bis zur Grenze 1 schauen.
Neues Limit: Man kann bis zur Grenze 0,5 schauen (vorausgesetzt, die Riemannsche Vermutung stimmt).
Wie? Durch eine clevere Kombination aus Zählen und mathematischem "Raten" (Integration), das die Lücken im Wald schließt.

Es ist wie ein neuer, stärkerer Suchscheinwerfer für Mathematiker, der ihnen erlaubt, den dunklen Wald der Primzahlen besser zu beleuchten, ohne dabei blind zu werden.

Technische Zusammenfassung: Analytische Fortsetzung der Primzahl-Zeta-Funktion für $\Re(s) > 1/2$ unter Annahme der Riemannschen Hypothese

1. Problemstellung

Die Primzahl-Zeta-Funktion $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$ ist ursprünglich nur für $\Re(s) > 1$ absolut konvergent. Eine bekannte Darstellung mittels Möbius-Inversion, $P(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$ , ermöglicht zwar eine Fortsetzung in den Bereich $\Re(s) > 0$ , stößt jedoch bei $\Re(s) = 0$ auf eine natürliche Grenze. Aufgrund der dichten Anhäufung von Singularitäten nahe der imaginären Achse ist eine weitere analytische Fortsetzung für $\Re(s) \le 0$ nicht möglich.

Das Ziel des Papers ist es, eine einfache Ausdrucksformel zu finden, die eine analytische Fortsetzung von $P(s)$ in den Bereich $\Re(s) > 1/2$ ermöglicht, unter der Annahme der Riemannschen Hypothese (RH).

2. Methodik

Der Autor verwendet eine Methode der Stieltjes-Integration, um den Restterm der asymptotischen Entwicklung der Primzahlzählfunktion $\pi(x)$ zu analysieren.

Ausgangspunkt: Die Definition von $P(s)$ als Summe über Primzahlen bis zu einer Grenze $x$ plus einem Integralrestterm.
Asymptotische Analyse: Es wird die Beziehung $\pi(x) = \text{li}(x) + f(x)$ genutzt, wobei $\text{li}(x)$ der Logarithmus-Integral ist und $f(x)$ den Fehlerterm darstellt. Unter Annahme der Riemannschen Hypothese gilt für den Fehlerterm die Abschätzung $f(x) = O(\sqrt{x} \log x)$ .
Integration: Durch partielle Integration (Stieltjes-Integration) des Terms $\int_x^\infty t^{-s} d\pi(t)$ $\int_{x}^{\infty} t^{- s} d π (t)$ wird der Ausdruck in drei Teile zerlegt:
1. Die endliche Summe über Primzahlen.
2. Ein Integral über $\text{li}(t)$ , das sich durch Substitution ( $u = \log t$ ) in die exponentielle Integralfunktion $E_1$ umwandeln lässt.
3. Ein Restterm, der den Fehler $f(x)$ enthält.
Grenzübergang: Durch Betrachtung des Grenzwerts $x \to \infty$ wird gezeigt, dass der Restterm für $\Re(s) > 1/2$ gegen Null konvergiert, während der Term mit $E_1$ die analytische Struktur liefert.

3. Hauptergebnisse und Theorem

Das zentrale Ergebnis ist Theorem 1, das eine neue Darstellung der Primzahl-Zeta-Funktion liefert:

$P(s) = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{p \le x} \frac{1}{p^s} + E_1[(s-1)\log(x)] \right)$

Wichtige Eigenschaften dieser Darstellung:

Konvergenzbereich: Die Formel ist analytisch für $\Re(s) > 1/2$ .
Zweigschnitt (Branch Cut): Aufgrund des Logarithmus in der Definition der exponentiellen Integralfunktion $E_1(z)$ (siehe Reihenentwicklung $E_1(z) = -\gamma - \log(z) - \dots$ ) entsteht ein natürlicher Zweigschnitt im Intervall $(1/2, 1]$ .
Rolle der Riemannschen Hypothese: Die Gültigkeit der Fortsetzung bis $\Re(s) > 1/2$ hängt direkt von der Abschätzung des Fehlerterms $f(x) = O(\sqrt{x} \log x)$ ab, welche äquivalent zur Riemannschen Hypothese ist. Ohne RH wäre dieser Bereich nicht garantiert.

4. Numerische Verifikation

Der Autor hat die neue Formel numerisch mit Hilfe des Systems Pari/GP überprüft:

Vergleich: Die neue Formel (Gleichung 3) wurde mit der klassischen Möbius-Inversionsformel (Gleichung 2) verglichen.
Testfälle:
- Reelle Achse ( $s \in [0.5001, 2]$ ): Es wurde eine nahezu perfekte Übereinstimmung festgestellt, wobei bei Annäherung an $s=0.5$ leichte Konvergenzabweichungen auftreten (erwartet aufgrund des Zweigschnitts).
- Imaginäre Achse ($s = 0.75 + it $für$ t \in [0.1, 50]$): Sowohl Real- als auch Imaginärteil zeigen eine perfekte Übereinstimmung zwischen beiden Methoden.
Code: Ein bereitgestelltes Pari/GP-Skript demonstriert die Implementierung der Berechnung und die Erstellung der Vergleichsplots.

5. Bedeutung und Fazit

Dieses Papier liefert einen signifikanten Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, indem es:

Den Konvergenzbereich der Primzahl-Zeta-Funktion von $\Re(s) > 0$ auf $\Re(s) > 1/2$ erweitert.
Eine explizite, numerisch stabile Formel bereitstellt, die die Abhängigkeit von der Riemannschen Hypothese klar macht.
Die Notwendigkeit eines Zweigschnitts im Intervall $(1/2, 1]$ identifiziert und erklärt.
Die theoretische Herleitung durch robuste numerische Experimente validiert.

Die Arbeit bietet somit ein neues Werkzeug für die Untersuchung der Verteilung von Primzahlen und die Eigenschaften von $P(s)$ in einem Bereich, der bisher nur schwer zugänglich war, und unterstreicht die tiefe Verbindung zwischen der Fehlerterm-Schätzung der Primzahlzählfunktion und der analytischen Struktur der Zeta-Funktionen.