Analytical continuation of prime zeta function for $\Re(s)>\frac{1}{2}$ assuming (RH)

Titel: Analytische voortzetting van de priem-zetafunctie voor ℜ(s) > 1/2 onder aanname van de Riemann-hypothese

1. Het Probleem

De priem-zetafunctie, gedefinieerd als $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$ (waarbij de som loopt over alle priemgetallen), convergeert absoluut voor $\Re(s) > 1$. Een bekende representatie via de Möbius-inversieformule, $P(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$, maakt een analytische voortzetting mogelijk tot $\Re(s) > 0$.

Echter, er bestaat een natuurlijke grens bij $\Re(s) = 0$. Vanwege de dichte accumulatie van singulariteiten in de buurt van deze lijn kan de functie niet verder worden voortgezet naar het gebied $\Re(s) \leq 0$. De kernvraag die dit paper adresseert, is of er een methode bestaat om $P(s)$ verder te analyseren in het gebied tussen $\Re(s) = 0$ en $\Re(s) = 1$, specifiek tot $\Re(s) > 1/2$, onder de aanname van de Riemann-hypothese (RH).

2. Methodologie

De auteur gebruikt Stieltjes-integratie om een nieuwe reeksontwikkeling af te leiden. De methode verloopt als volgt:

• Definitie van de priemtelfunctie: De functie $\pi(x)$ (het aantal priemgetallen $\leq x$) wordt geanalyseerd via de asymptotische formule $\pi(x) = \text{li}(x) + f(x)$, waarbij $\text{li}(x)$ de logaritmische integraal is en $f(x)$ de restterm.
• Aanname van de Riemann-hypothese (RH): Onder de aanname van de RH wordt de grootte van de restterm geschat als $f(x) = O(\sqrt{x} \log x)$.
• Stieltjes-integratie: De auteur schrijft $P(s)$ als een som tot een grens $x$ plus een integraal over de restterm:
  $$P(s) = \sum_{p \leq x} \frac{1}{p^s} + \int_{x}^{\infty} \frac{1}{t^s} d\pi(t)$$
  Door $\pi(t)$ te vervangen door $\text{li}(t) + f(t)$ en partiële integratie toe te passen, wordt de integraal ontbonden in een hoofdterm en een restterm.
• Gebruik van de Exponentiële Integraal: De integraal die voortkomt uit de $\text{li}(t)$-term kan worden uitgedrukt in termen van de exponentiële integraal $E_1(z) = \int_z^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$.
• Analyse van convergentie: De auteur toont aan dat onder de RH de resttermen (die afhangen van $f(x)$) voldoende snel verdwijnen voor $\Re(s) > 1/2$, waardoor de limiet $x \to \infty$ bestaat in dit domein.

3. Belangrijkste Bijdrage: Stelling 1

Het centrale resultaat van het paper is Stelling 1, die een nieuwe uitdrukking biedt voor de analytische voortzetting van $P(s)$:

$$P(s) = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{p \leq x} \frac{1}{p^s} + E_1[(s-1)\log(x)] \right)$$

Kenmerken van deze uitdrukking:

• Domein: De formule is analytisch geldig voor $\Re(s) > 1/2$.
• Voorwaarde: De geldigheid is afhankelijk van de waarheid van de Riemann-hypothese (RH).
• Taksnede (Branch Cut): Vanwege de logaritmische term in de exponentiële integraal $E_1$, moet er een taksnede worden geïntroduceerd op het interval $(1/2, 1]$. Dit betekent dat de functie op deze lijn niet holomorf is in de gebruikelijke zin, maar wel goed gedefinieerd kan worden door de juiste tak te kiezen.
• Vereenvoudiging: De auteur toont aan dat de randtermen die voortvloeien uit de restterm $f(x)$ (zoals $\frac{\pi(x) - \text{li}(x)}{x^s}$) geen extra convergentieverbetering bieden en daarom in de limiet kunnen worden weggelaten.

4. Resultaten en Numerieke Validatie

De auteur heeft de afgeleide formule numeriek geverifieerd met behulp van Pari/GP:

• Vergelijking: De nieuwe formule (Stelling 1) is vergeleken met de klassieke Möbius-inversieformule (die geldig is voor $\Re(s) > 0$).
• Grafieken:
  • Fig. 1: Toont een vergelijking op de reële as. Er is een "bijna perfecte" overeenkomst tussen beide methoden, behalve in de directe omgeving van $s = 0.5$, waar de convergentie van de nieuwe formule begint af te wijken (wat verwacht wordt vanwege de taksnede).
  • Fig. 2 & 3: Toont de reële en imaginaire delen van $P(s)$ op de verticale lijn $\Re(s) = 0.75$ voor $t$ van 0.1 tot 50. De resultaten tonen een perfecte match tussen de twee methoden.
• Conclusie van de test: De numerieke experimenten bevestigen dat de nieuwe formule correct is en een betrouwbare manier biedt om $P(s)$ te berekenen in het gebied $1/2 < \Re(s) \leq 1$, waar de oorspronkelijke som $\sum p^{-s}$ niet convergeert.

5. Betekenis en Impact

Dit paper levert een significante bijdrage aan de analytische getaltheorie:

1. Uitbreiding van het domein: Het biedt een expliciete, eenvoudige formule om de priem-zetafunctie te analyseren in het kritieke gebied $\Re(s) > 1/2$, wat voorheen moeilijk toegankelijk was zonder de complexe Möbius-inversie die afhankelijk is van de nulpunten van de Riemann-zetafunctie.
2. Afhankelijkheid van RH: Het paper illustreert hoe de Riemann-hypothese direct kan worden gebruikt om de analytische eigenschappen van andere zeta-achtige functies te verbeteren. Als de RH waar is, dan is de voortzetting naar $\Re(s) > 1/2$ mogelijk.
3. Praktische toepasbaarheid: De afgeleide formule is computatievriendelijker voor bepaalde domeinen dan de oneindige som van de Möbius-inversie, aangezien deze slechts een eindige som over priemgetallen en een standaard wiskundige functie ($E_1$) vereist.
4. Inzicht in singulariteiten: Het paper verduidelijkt de aard van de singulariteiten en de noodzaak van een taksnede in het interval $(1/2, 1]$, wat belangrijk is voor het begrijpen van de gedetailleerde structuur van $P(s)$.

Samenvattend biedt Artur Kawalec een krachtig wiskundig instrument dat, onder de aanname van de Riemann-hypothese, de grenzen van de analytische voortzetting van de priem-zetafunctie uitbreidt en een brug slaat tussen de klassieke definitie en het kritieke gebied.