Analytical continuation of prime zeta function for $\Re(s)>\frac{1}{2}$ assuming (RH)

基于 Artur Kawalec 的论文《Analytical continuation of prime zeta function for ℜ(s) > 1/2 assuming (RH)》，以下是该论文的详细技术总结：

1. 研究问题 (Problem)

素数 zeta 函数定义为 $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$，其中 $p$ 遍历所有素数。

• 收敛性限制：该级数在 $\Re(s) > 1$ 时绝对收敛。
• 现有解析延拓：通过 Möbius 反演公式 $P(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$，可以将定义域延拓至 $\Re(s) > 0$。
• 自然边界：在 $\Re(s) = 0$ 处存在自然边界，由于奇点的密集积累，无法进一步延拓至 $\Re(s) \le 0$。
• 核心挑战：如何在假设黎曼猜想（Riemann Hypothesis, RH）成立的前提下，将 $P(s)$ 的解析延拓范围从 $\Re(s) > 0$ 进一步扩展到 $\Re(s) > 1/2$，并处理由此产生的分支切割（branch cut）问题。

2. 方法论 (Methodology)

作者采用Stieltjes 积分（Stieltjes integration）结合素数计数函数的渐近展开来推导新的表达式。

• 素数计数函数：利用 $\pi(x)$ 的渐近公式 $\pi(x) = \text{li}(x) + f(x)$，其中 $\text{li}(x)$ 是对数积分，$f(x)$ 是余项。
• 黎曼猜想假设：在假设 RH 成立的情况下，余项 $f(x)$ 的估计为 $O(\sqrt{x} \log x)$。
• 积分推导过程：
  1. 将 $P(s)$ 写为有限和加上余项积分的形式：$P(s) = \sum_{p \le x} p^{-s} + \int_x^\infty t^{-s} d\pi(t)$。
  2. 将 $\pi(t)$ 分解为 $\text{li}(t) + f(t)$ 并代入积分。
  3. 对 $\text{li}(t)$ 部分进行积分，利用变量代换 $u = \log t$，将其转化为指数积分（Exponential Integral）$E_1(z)$ 的形式。
  4. 对余项 $f(t)$ 部分进行分部积分，利用 $f(t)$ 的阶数估计（$O(\sqrt{x} \log x)$）证明当 $x \to \infty$ 时，边界项和积分项在 $\Re(s) > 1/2$ 时趋于零或可忽略。
• 分支切割处理：由于 $E_1(z)$ 的定义涉及 $\log(z)$，其分支切割位于负实轴。在推导 $P(s)$ 的表达式中，参数 $(s-1)\log x$ 导致在 $s \in (1/2, 1]$ 区间内出现分支切割，作者明确指出需在此区间引入分支切割以保证解析性。

3. 关键贡献 (Key Contributions)

• 定理 1 的提出：推导出了素数 zeta 函数的新表达式：
  $$P(s) = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{p \le x} \frac{1}{p^s} + E_1[(s-1)\log(x)] \right)$$
  该公式在假设 RH 成立的前提下，将 $P(s)$ 的解析域扩展到了 $\Re(s) > 1/2$。
• 分支切割的明确：指出了新表达式在区间 $(1/2, 1]$ 上存在分支切割，这是由于指数积分 $E_1$ 的对数性质决定的。
• 数值验证：提供了 Pari/GP 代码，通过数值计算验证了新公式（公式 3）与经典 Möbius 反演公式（公式 2）的一致性。

4. 结果 (Results)

• 解析性：证明了新公式在 $\Re(s) > 1/2$ 范围内是解析的（除了指定的分支切割）。
• 数值吻合度：
  • 实轴测试：在 $s \in [0.5001, 2]$ 区间内，新公式与经典公式计算出的实部高度吻合。但在 $s$ 接近 $0.5$ 时，由于收敛性变差，新公式开始出现偏差。
  • 复平面测试：在垂直线 $\Re(s) = 0.75$ 上（$t$ 从 0.1 到 50），新公式计算出的实部和虚部与经典公式完全匹配。
• 边界项分析：推导过程中产生的边界项 $\frac{\pi(x) - \text{li}(x)}{x^s}$ 被证明其量级为 $O(x^{1/2-s} \log x)$，在 $\Re(s) > 1/2$ 时随 $x \to \infty$ 消失，因此可以在极限表达式中省略。

5. 意义 (Significance)

• 理论扩展：该工作成功地将素数 zeta 函数的解析延拓范围从 $\Re(s) > 0$ 推进到了 $\Re(s) > 1/2$（在 RH 假设下），填补了该函数在 $0 < \Re(s) \le 1/2$ 区域解析表达式的空白。
• 计算效率：提供了一种基于指数积分 $E_1$ 的替代计算方法，避免了直接计算 Möbius 反演公式中涉及 $\log \zeta(ns)$ 的复杂求和，特别是在处理 $\Re(s)$ 较小但大于 $1/2$ 的值时可能具有数值稳定性优势。
• 分支结构揭示：清晰地揭示了 $P(s)$ 在 $1/2 < \Re(s) \le 1$ 区域的分支切割结构，这对于理解素数分布与复分析之间的深层联系具有重要意义。
• 验证工具：提供的数值脚本和图表为后续研究素数 zeta 函数在临界带附近的性质提供了可靠的验证工具。

总结：Artur Kawalec 通过结合素数定理的余项估计与 Stieltjes 积分技术，在黎曼猜想成立的假设下，给出了素数 zeta 函数在 $\Re(s) > 1/2$ 区域的一个简洁且有效的解析延拓公式，并通过数值实验证实了其准确性。