Analytical continuation of prime zeta function for $\Re(s)>\frac{1}{2}$ assuming (RH)

1. Il Problema

La funzione Zeta dei Primi, definita come $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$, converge assolutamente solo per $\Re(s) > 1$. Esiste una rappresentazione nota tramite la formula di inversione di Möbius, $P(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$, che permette l'estensione analitica fino a $\Re(s) > 0$. Tuttavia, la linea $\Re(s) = 0$ costituisce un confine naturale per la funzione: a causa dell'accumulo denso di singolarità vicino a questa linea, non è possibile estendere ulteriormente $P(s)$ nel semipiano $\Re(s) \leq 0$.

L'obiettivo di questo lavoro è colmare il divario tra la regione di convergenza assoluta ($\Re(s) > 1$) e il confine naturale, fornendo un'espressione che permetta l'estensione analitica della funzione fino a $\Re(s) > 1/2$, assumendo la validità dell'Ipotassi di Riemann (RH).

2. Metodologia

L'autore utilizza un approccio basato sull'integrazione di Stieltjes applicata alla funzione di conteggio dei primi $\pi(x)$. La metodologia si articola nei seguenti passaggi:

• Definizione di $\pi(x)$: Viene considerata la funzione di conteggio dei primi, definita come media dei limiti destro e sinistro quando $x$ è un intero, e legata all'integrale logaritmico $\text{li}(x)$ tramite un termine di resto $f(x)$, tale che $\pi(x) = \text{li}(x) + f(x)$.
• Assunzione dell'Ipotassi di Riemann (RH): Sotto l'assunzione della RH, il termine di resto è stimato come $f(x) = O(\sqrt{x} \log x)$.
• Integrazione per parti: L'autore esprime $P(s)$ come somma parziale più un integrale di Stieltjes da $x$ a $\infty$. Scomponendo l'integrale in una parte legata a $\text{li}(x)$ e una parte legata al resto $f(x)$, si ottiene un'espressione che include un termine integrale specifico.
• Introduzione della Funzione Integrale Esponenziale: Il termine integrale risultante viene trasformato, tramite la sostituzione $u = \log t$, nella funzione integrale esponenziale $E_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t} dt$.
• Gestione del Taglio di Ramo: Si nota che la funzione $E_1$ introduce un taglio di ramo (branch cut) lungo l'asse reale negativo. Poiché l'argomento è $(s-1)\log(x)$, questo si traduce in un taglio di ramo per $P(s)$ nell'intervallo $(1/2, 1]$ sull'asse reale.

3. Contributi Chiave

Il contributo principale del paper è la Teorema 1, che fornisce una nuova formula per l'estensione analitica di $P(s)$:

$$P(s) = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{p \leq x} \frac{1}{p^s} + E_1[(s-1)\log(x)] \right)$$

Questa formula è valida per $\Re(s) > 1/2$, assumendo la RH.
I punti salienti del contributo includono:

1. Estensione del dominio: La formula estende la validità di $P(s)$ fino a $\Re(s) > 1/2$, superando la barriera di $\Re(s) > 0$ della formula di Möbius.
2. Semplicità computazionale: A differenza di altre serie complesse, questa espressione combina una somma finita sui primi con una funzione elementare ($E_1$), rendendola potenzialmente più efficiente per il calcolo numerico.
3. Analisi del termine di errore: L'autore dimostra che il termine di bordo derivante dal resto $f(x)$ è dell'ordine $O(x^{1/2-s} \log x)$, che decade per $\Re(s) > 1/2$, permettendo di trascurarlo nel limite $x \to \infty$.

4. Risultati e Verifica Numerica

L'autore ha implementato un script in Pari/GP per verificare la correttezza della formula (3) confrontandola con la formula classica di Möbius (2).

• Confronto sull'asse reale: I grafici mostrano una corrispondenza quasi perfetta tra le due formule per valori reali di $s$ superiori a 0.5. Si nota una leggera deviazione della convergenza della formula (3) molto vicino a $s = 0.5$, come atteso data la vicinanza al confine del dominio di validità.
• Confronto sul piano complesso: Sono stati generati grafici lungo la linea verticale $\sigma = 0.75$ (con parte immaginaria $t$ da 0.1 a 50). I risultati mostrano una corrispondenza perfetta sia per la parte reale che per quella immaginaria di $P(s)$.
• Gestione del taglio: Il codice tiene conto del fatto che per $s$ reali nell'intervallo $(0.5, 1]$, la funzione si trova sul taglio di ramo, calcolando quindi la parte reale della funzione per garantire la correttezza del confronto.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro è significativo per la teoria dei numeri analitica per diverse ragioni:

• Nuovo strumento di calcolo: Fornisce un metodo alternativo e potenzialmente più stabile per calcolare i valori della funzione Zeta dei Primi nella regione critica $1/2 < \Re(s) \leq 1$, dove le serie classiche convergono lentamente o non convergono affatto.
• Connessione con la RH: La validità dell'estensione fino a $\Re(s) > 1/2$ è strettamente legata alla stima dell'errore nella funzione di conteggio dei primi, confermando indirettamente come la RH sia fondamentale per l'analisi di queste funzioni.
• Struttura delle singolarità: La derivazione chiarisce la natura del taglio di ramo necessario per l'estensione, offrendo una visione più profonda sulla struttura analitica di $P(s)$ e sulla sua relazione con la funzione Zeta di Riemann $\zeta(s)$.

In sintesi, l'articolo offre una derivazione elegante e una verifica numerica robusta di una formula che estende significativamente il dominio di definizione della funzione Zeta dei Primi, sfruttando le proprietà dell'integrale esponenziale e l'ipotesi di Riemann.