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Analytical continuation of prime zeta function for $\Re(s)>\frac{1}{2}$ assuming (RH)

El artículo presenta una expresión simple para la continuación analítica de la función zeta de los primos en el dominio $\Re(s)>\frac{1}{2}$ bajo la hipótesis de Riemann, la cual incluye una rama de corte adecuada y se valida mediante verificaciones numéricas y gráficos.

Autores originales: Artur Kawalec

Publicado 2026-03-27

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CC BY 4.0

Autores originales: Artur Kawalec

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que los números primos (2, 3, 5, 7, 11...) son como las semillas fundamentales de todo el universo de los números. Los matemáticos llevan siglos intentando entender cómo se comportan estas semillas cuando las mezclamos en una "sopa" infinita llamada Función Zeta de los Primos.

El problema es que esta "sopa" es muy difícil de saborear. Si intentas probarla con ciertos ingredientes (números complejos), la cuchara se rompe y la sopa se desborda. Matemáticamente, esto significa que la fórmula deja de funcionar o "explota" en ciertos puntos.

Aquí es donde entra este nuevo artículo de Artur Kawalec. Vamos a desglosarlo con analogías sencillas:

1. El Problema: La Pared Invisible

Antes de este trabajo, sabíamos que podíamos calcular la suma de los primos hasta cierto punto (como si tuvieras un muro invisible en la línea de tiempo).

La vieja regla: Podías ver los primos claramente solo si te quedabas en una zona segura (donde la parte real de $s$ es mayor que 1).
El muro: Si intentabas acercarte más al origen (hacia la línea 0), la fórmula se volvía un caos total. Había demasiados "baches" y agujeros negros matemáticos que hacían imposible cruzar. Era como intentar cruzar un río sin puente; te ahogabas en singularidades.

2. La Solución: Un Nuevo Mapa con una "Línea de Cuidado"

Kawalec propone un nuevo método para cruzar ese río, pero con una condición especial: asumir que la Hipótesis de Riemann es cierta.

¿Qué es la Hipótesis de Riemann? Imagina que es una ley del universo que dice: "Todos los secretos ocultos de los primos están alineados perfectamente en una línea recta invisible". Si aceptamos que esto es verdad (aunque nadie lo haya probado al 100% todavía), podemos usarlo como una brújula.

Con esta brújula, el autor construye un puente que nos permite caminar desde la zona segura hasta una zona más peligrosa, pero controlada: la línea donde la parte real es mayor que 1/2.

3. La Herramienta Mágica: El "Termómetro de Exponencial"

Para construir este puente, el autor usa una herramienta matemática llamada Integral Exponencial ( $E_1$ ).

La analogía: Imagina que estás contando primos uno por uno. A medida que avanzas, la tarea se vuelve más pesada. La fórmula antigua te decía: "Suma los primeros $x$ primos y ya".
La innovación: Kawalec dice: "No solo sumes los primos. Suma los primos y resta un 'peso' o 'corrección' que calcula exactamente cuánto te falta para llegar al infinito".
Esa corrección es la función $E_1$ . Es como un termómetro mágico que mide la temperatura del "resto" de la suma infinita y te dice cómo ajustarla para que no explote.

4. La "Cortina de Seguridad" (Corte de Ramas)

El artículo menciona algo técnico llamado "branch cut" (corte de ramas) entre 1/2 y 1.

La analogía: Imagina que el mapa matemático es como un globo terráqueo. Si intentas dibujar una línea desde el norte hasta el sur, a veces tienes que elegir un lado del globo para no confundirte.
Kawalec dice: "Podemos cruzar hasta la mitad del camino (1/2), pero tenemos que poner una cinta de precaución en el medio. Si pisas esa cinta, tienes que tener cuidado de no girar en la dirección equivocada, o los números cambiarán de signo y todo se romperá". Es una regla de tráfico matemático para mantener la fórmula estable.

5. La Verificación: ¿Funciona en la vida real?

El autor no solo se quedó en la teoría. Escribió un programa de computadora (usando un lenguaje llamado Pari/GP) para poner a prueba su fórmula.

El experimento: Comparó su nueva fórmula (el puente) con la fórmula antigua (la orilla segura) en diferentes puntos.
El resultado: ¡Coincidieron perfectamente! Fue como si dos relojes diferentes marcaran la misma hora exacta. Incluso cuando se acercaron peligrosamente a la línea de 0.5, la nueva fórmula siguió funcionando, aunque empezó a temblar un poco (como cualquier puente cerca de su límite de carga).

En Resumen

Este artículo es como un manual de ingeniería para construir un puente más largo sobre un río peligroso de números primos.

Asume que el universo de los números tiene una estructura ordenada (Hipótesis de Riemann).
Usa una herramienta de corrección (la integral exponencial) para limpiar el camino.
Pone una señal de "cuidado" (corte de ramas) para que no te pierdas.
Demuestra con una computadora que el puente es sólido y permite ver cosas que antes eran invisibles.

Es un paso más para entender la música oculta que tocan los números primos, acercándonos un poco más a descifrar el código secreto de las matemáticas.

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "Analytical continuation of prime zeta function for ℜ(s) > 1/2 assuming (RH)" de Artur Kawalec, estructurado según los puntos solicitados.

1. El Problema

La función zeta de los primos, definida como $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$ , converge absolutamente solo para $\Re(s) > 1$ .

Limitación actual: Existe una representación conocida mediante la fórmula de inversión de Möbius, $P(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$ , que permite continuar analíticamente la función hasta $\Re(s) > 0$ .
La barrera: Sin embargo, la línea $\Re(s) = 0$ actúa como una barrera natural. Debido a la acumulación densa de singularidades cerca de esta línea, la función no puede continuarse más allá de $\Re(s) \leq 0$ .
El objetivo: El autor busca derivar una expresión que permita continuar analíticamente $P(s)$ en un dominio más amplio, específicamente para $\Re(s) > 1/2$ , asumiendo la validez de la Hipótesis de Riemann (RH).

2. Metodología

El autor emplea una técnica de integración de Stieltjes aplicada al término de error en la fórmula asintótica de la función de conteo de primos $\pi(x)$ .

Fundamento Teórico: Se parte de la relación $\pi(x) = \text{li}(x) + f(x)$ , donde $\text{li}(x)$ es la integral logarítmica y $f(x)$ es el término de error.
Suposición Clave: Bajo la Hipótesis de Riemann (RH), el término de error se estima como $f(x) = O(\sqrt{x} \log x)$ .
Proceso de Derivación:
1. Se expresa $P(s)$ como una suma parcial más una integral de Stieltjes desde un límite $x$ hasta infinito.
2. Se descompone la integral en una parte que involucra $\text{li}(x)$ y otra que involucra el error $f(x)$ .
3. La integral principal se transforma mediante el cambio de variable $u = \log t$ , resultando en una Integral Exponencial ( $E_1$ ).
4. Se analiza el comportamiento de los términos de frontera y el término de error residual cuando $x \to \infty$ .
5. Se demuestra que el término de error residual y el término de frontera son suficientemente pequeños para ser despreciados en el límite bajo la condición $\Re(s) > 1/2$ .

3. Contribuciones Clave

El artículo presenta el Teorema 1, que ofrece una nueva fórmula para la continuación analítica:

$P(s) = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{p \leq x} \frac{1}{p^s} + E_1[(s - 1) \log(x)] \right)$

Donde $E_1(z)$ es la integral exponencial definida como $E_1(z) = \int_z^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$ .

Aspectos técnicos notables:

Dominio Extendido: Esta fórmula es analítica para $\Re(s) > 1/2$ , superando la barrera de la fórmula de Möbius que se detiene en $\Re(s) > 0$ (aunque la barrera natural real sigue siendo $\Re(s)=0$ , esta fórmula permite un cálculo estable hasta $1/2$ ).
Corte de Ramo (Branch Cut): El autor identifica la necesidad de introducir un corte de ramo en el intervalo $(1/2, 1]$ debido a la presencia del logaritmo en la expansión de la integral exponencial $E_1$ .
Simplicidad: A diferencia de otras expansiones complejas, esta expresión es "simple" y directa, combinando una suma parcial de primos con una función especial estándar.

4. Resultados

El autor valida la fórmula teórica mediante cálculos numéricos utilizando el software Pari/GP.

Comparación Numérica: Se comparó la nueva fórmula (Ecuación 3) contra la fórmula clásica de Möbius (Ecuación 2).
- Eje Real: En el dominio real, se observó una "reproducción casi perfecta" entre ambas fórmulas. Se notó una desviación en la convergencia cerca de $s = 0.5$ , lo cual es consistente con la presencia del corte de ramo y la frontera del dominio de validez.
- Eje Imaginario: Se realizaron pruebas en la línea vertical $\sigma = 0.75$ (con $t$ variando de 0.1 a 50). Los gráficos mostraron un ajuste "perfecto" tanto para las partes reales como imaginarias de $P(s)$ .
Código: Se proporciona un script en Pari/GP que demuestra la implementación práctica de la fórmula, utilizando la función integrada eint1 para la integral exponencial.

5. Significado

Este trabajo es significativo por las siguientes razones:

Extensión del Dominio: Logra extender el dominio de cálculo directo de la función zeta de los primos desde $\Re(s) > 0$ hasta $\Re(s) > 1/2$ (bajo la suposición de RH), lo cual es un paso intermedio crucial antes de la barrera natural en $\Re(s)=0$ .
Eficiencia Computacional: La fórmula propuesta evita la necesidad de calcular la función zeta de Riemann $\zeta(ns)$ para múltiples valores de $n$ (como requiere la fórmula de Möbius), sustituyéndola por una suma de primos y una función especial, lo cual puede ser computacionalmente más eficiente en ciertos rangos.
Claridad Analítica: Proporciona una comprensión más profunda de la estructura de singularidades de $P(s)$ y la relación entre la distribución de los primos (a través de $\pi(x)$ ) y la función zeta, vinculando explícitamente el término de error de la Hipótesis de Riemann con la convergencia de la continuación analítica.

En resumen, Kawalec ofrece una herramienta analítica y numérica robusta para estudiar la función zeta de los primos en una región crítica del plano complejo, asumiendo la validez de la Hipótesis de Riemann.