Non-convexity of level sets for solutions to $k$-Hessian equations in exterior domains

Titel: Nicht-Konvexität von Niveaumengen für Lösungen von k-Hessischen Gleichungen in äußeren Gebieten

Autoren: Bo Wang, Cong Wang und Zhizhang Wang

---

1. Problemstellung

Das Paper untersucht das Dirichlet-Problem für k-Hessische Gleichungen in äußeren Gebieten (außerhalb eines beschränkten, streng konvexen Gebiets $\Omega_0 \subset \mathbb{R}^n$, $n \ge 3$). Die Gleichung lautet:
$$\begin{cases} S_k(D^2u) = 1 & \text{in } \mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega_0}, \\ u = 0 & \text{auf } \partial\Omega_0, \end{cases}$$
wobei $S_k(D^2u)$ die $k$-te elementare symmetrische Funktion der Eigenwerte der Hesse-Matrix $D^2u$ ist.

Ein zentrales Ziel ist die Untersuchung der Quasikonvexität der Lösung $u$. Eine Funktion heißt quasikonvex, wenn ihre Subniveaumengen $\{x \mid u(x) \le t\}$ konvex sind.
Die Autoren betrachten Lösungen, die im Unendlichen ein quadratisches Wachstum aufweisen, spezifisch:
$$\lim_{|x|\to\infty} \left( u(x) - \left(\frac{1}{2}x^T A x + b \cdot x + c\right) \right) = 0$$
mit einer symmetrischen, positiv definiten Matrix $A$ ($S_k(A)=1$).

Die Kernfrage (Question 1.1):
Vererben k-konvexe Lösungen dieses Problems die Konvexität des äußeren Gebiets global auf alle Subniveaumengen? Das heißt, sind alle solchen Lösungen quasikonvex?
Während dies für den Fall $k=n$ (Monge-Ampère-Gleichung) und für radialsymmetrische Fälle bekannt ist, bleibt die Frage für allgemeine $1 \le k \le n-1$ offen.

---

2. Methodik

Die Autoren verwenden eine Kombination aus analytischen Abschätzungen, der Theorie der k-Hessischen Maße und einer Kontrapositions-Argumentation, um Gegenbeispiele zu konstruieren.

A. Approximationsproblem in konvexen Ringen

Da das Problem im unbeschränkten Gebiet direkt schwer zu handhaben ist, wird ein Approximationsproblem in einem beschränkten, nicht-konzentrischen konvexen Ring $\Omega_R^\varepsilon = E_R(0) \setminus \overline{B_\varepsilon(x_0)}$ formuliert.

• Innerer Rand: Eine kleine Kugel $B_\varepsilon(x_0)$ mit Zentrum $x_0 \neq 0$.
• Äußerer Rand: Eine Ellipsoid-ähnliche Menge $E_R(0)$, die das quadratische Wachstum simuliert.
• Es werden einheitliche $C^0$, $C^1$ und $C^2$-Abschätzungen für die Lösungen $u_{\varepsilon, R}$ etabliert, die unabhängig von $\varepsilon$ und $R$ sind. Dies geschieht durch Konstruktion geeigneter Sub- und Superlösungen sowie Barrieren.

B. Grenzübergang und k-Hessische Maße

• Grenzübergang $R \to \infty$: Durch die gleichmäßigen Abschätzungen konvergiert die Lösung gegen eine Lösung $u_\varepsilon$ im unbeschränkten Gebiet außerhalb der kleinen Kugel.
• Grenzübergang $\varepsilon \to 0$: Hier wird die Theorie der k-Hessischen Maße (entwickelt von Trudinger und Wang, adaptiert in [28, 29]) genutzt. Die Autoren zeigen, dass die erweiterte Funktion $\tilde{u}_\varepsilon$ (die im Inneren der Kugel auf 0 gesetzt wird) gegen die quadratische Funktion $\psi(x) = \frac{1}{2}x^T A x + c$ konvergiert.
• Ein entscheidender Schritt ist der Nachweis, dass das k-Hessische Maß der Grenzfunktion $\psi$ das Standard-Lebesgue-Maß ist, was die Eindeutigkeit der Lösung im Limes sichert.

C. Konstruktion des Gegenbeispiels

Um die Nicht-Quasikonvexität zu beweisen, wird ein Widerspruch angenommen:

1. Angenommen, alle Subniveaumengen der Lösung $u_\varepsilon$ (für sehr kleines $\varepsilon$) wären konvex.
2. Da die Lösung gegen die quadratische Funktion $\psi$ konvergiert, müssten die Subniveaumengen von $u_\varepsilon$ die Geometrie von $\psi$ widerspiegeln.
3. Durch geschickte Wahl des Zentrums $x_0$ der inneren Kugel (nicht im Ursprung) und Nutzung der Konvergenz Eigenschaften wird gezeigt, dass dies zu einem Widerspruch führt: Die Konvexität der Subniveaumengen würde implizieren, dass $\psi(x_0) \le \psi(0)$, was jedoch aufgrund der positiven Definitheit von $A$ und der Wahl von $x_0$ falsch ist ($\psi(x_0) > \psi(0)$).

D. Neuer Beweis für harmonische Funktionen (Theorem 1.6)

Für den Fall $k=1$ (Laplace-Gleichung) wird ein neuer, mikroskopischer Beweis für die Quasikonkavität (Konvexität der Superniveaumengen) geliefert.

• Statt makroskopischer Argumente (wie bei Lewis) wird eine Deformationsmethode verwendet.
• Es werden asymptotische Entwicklungen der Gaußschen Krümmung der Niveaumengen im Unendlichen hergeleitet.
• Unter Verwendung von Ergebnissen von Ma und Zhang über die Superharmonizität von Krümmungsfunktionen wird gezeigt, dass die Krümmung nie Null werden kann, was die strikte Konvexität der Niveaumengen sichert.

---

3. Hauptergebnisse

Theorem 1.3 (Nicht-Quasikonvexität für $2 \le k \le n/2$)

Für $n \ge 3$ und $2 \le k \le n/2$ existieren für jede gegebene Matrix $A \in A_k$ und jeden Vektor $b$ glatte, streng konvexe Gebiete $\Omega_0$ und Konstanten $c^*$, sodass für alle $c \ge c^*$ die Lösung des Problems nicht quasikonvex ist.

• Dies widerlegt die Vermutung, dass das quadratische Wachstum im Unendlichen und die Konvexität des inneren Randes automatisch globale Quasikonvexität garantieren.

Theorem 1.4 (Nicht-Quasikonvexität für $k=1$)

Für den Laplace-Fall ($k=1$) gilt ein ähnliches Ergebnis unter der zusätzlichen Bedingung $\lambda_{\max}(A) < 1/2$. Auch hier existieren Gegenbeispiele, bei denen die Lösung nicht quasikonvex ist.

• Hinweis: Dies steht im Kontrast zu klassischen Ergebnissen für harmonische Funktionen, die gegen 0 im Unendlichen gehen (Theorem 1.6), wo Quasikonkavität gilt. Der Unterschied liegt in der Randbedingung und dem asymptotischen Verhalten (Wachstum vs. Abklingen).

Theorem 1.6 (Neuer Beweis für harmonische Funktionen)

Der Beweis zeigt, dass die Lösung der Laplace-Gleichung in einem äußeren Gebiet mit $u=1$ auf dem Rand und $u \to 0$ im Unendlichen quasikonkav ist und alle Superniveaumengen strikt konvex sind. Der Beweis nutzt explizite Abschätzungen der Gaußschen Krümmung im Unendlichen.

---

4. Bedeutung und Beitrag

1. Widerlegung einer natürlichen Vermutung: Das Paper liefert die ersten expliziten Gegenbeispiele, die zeigen, dass die Quasikonvexität von Lösungen zu k-Hessischen Gleichungen in äußeren Gebieten nicht automatisch gegeben ist, selbst wenn das innere Gebiet konvex ist und das Wachstum im Unendlichen "gutartig" (quadratisch) ist.
2. Empfindlichkeit gegenüber Domänen-Deformationen: Die Ergebnisse verdeutlichen, dass die Quasikonvexität extrem empfindlich auf kleine Deformationen des inneren Randes (Verschiebung des Zentrums der Kugel) reagiert.
3. Erweiterung der Literatur: Während viele positive Ergebnisse für konvexe Ringe (beschränkte Gebiete) existieren, sind negative Ergebnisse (Gegenbeispiele) selten. Dies füllt eine Lücke, insbesondere für nichtlineare Gleichungen in unbeschränkten Gebieten.
4. Methodischer Fortschritt: Die Kombination aus der Theorie der k-Hessischen Maße zur Behandlung der Singularität bei $\varepsilon \to 0$ und der Konstruktion von Gegenbeispielen durch Störung der Symmetrie ist ein innovativer Ansatz.
5. Klarstellung des Laplace-Falls: Durch den neuen mikroskopischen Beweis für harmonische Funktionen wird die Unterscheidung zwischen dem Fall des Abklingens (Quasikonkavität) und dem Fall des Wachstums (potenzielle Nicht-Quasikonvexität) präzisiert.

Zusammenfassend demonstriert das Paper, dass die geometrischen Eigenschaften von Niveaumengen bei nichtlinearen elliptischen Gleichungen in äußeren Gebieten komplexer sind als bisher angenommen und nicht allein durch die Konvexität des Randes und das asymptotische Verhalten bestimmt werden.