Non-convexity of level sets for solutions to $k$-Hessian equations in exterior domains

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "No convexidad de los conjuntos de nivel para soluciones a ecuaciones k-Hessian en dominios exteriores", escrito por Bo Wang, Cong Wang y Zhizhang Wang.

1. Planteamiento del Problema

El artículo se centra en el problema de Dirichlet exterior para las ecuaciones k-Hessian:
$$\begin{cases} S_k(D^2u) = 1 & \text{en } \mathbb{R}^n \setminus \bar{\Omega}_0, \\ u = 0 & \text{en } \partial\Omega_0, \end{cases}$$
donde $\Omega_0$ es un dominio acotado y estrictamente convexo en $\mathbb{R}^n$ ($n \ge 3$), y $S_k(D^2u)$ es el $k$-ésimo simétrico elemental de los autovalores de la matriz Hessiana $D^2u$.

El objetivo principal es investigar la cuasiconvexidad de las soluciones $u$. Una función se considera cuasiconvexa si sus conjuntos de subnivel (definidos extendiendo $u=0$ en $\Omega_0$) son conjuntos convexos.

Contexto y Motivación:

• Se prescribe un comportamiento asintótico cuadrático en el infinito: $u(x) \approx \frac{1}{2}x^T A x + b \cdot x + c$, donde $A$ es una matriz simétrica definida positiva con $S_k(A)=1$.
• Geométricamente, este crecimiento asegura que los conjuntos de subnivel son asintóticamente elipsoidales (convexos) en el infinito. Dado que el dominio interior $\Omega_0$ también es convexo, surge la pregunta natural: ¿Heredan globalmente todos los conjuntos de subnivel la convexidad del dominio exterior?
• Para el caso $k=n$ (ecuación de Monge-Ampère), las soluciones admisibles son localmente convexas y, por tanto, cuasiconvexas.
• Para el caso $k=1$ (ecuación de Laplace), se sabe que las funciones armónicas que decaen a cero en el infinito son cuasiconcavas (conjuntos de supernivel convexos), un resultado clásico de Lewis y Kawohl.
• La pregunta abierta (Pregunta 1.1): Para $1 \le k \le n-1$, ¿son todas las soluciones $k$-convexas a este problema cuasiconvexas?

2. Metodología

Los autores emplean una estrategia constructiva basada en la creación de contraejemplos explícitos, combinando análisis asintótico, estimaciones de regularidad y teoría de medidas k-Hessian.

A. Construcción de Contraejemplos (Teoremas 1.3 y 1.4)

Para demostrar que la respuesta a la pregunta anterior es negativa, los autores construyen soluciones que no son cuasiconvexas.

1. Reducción y Normalización: Mediante un cambio de coordenadas, reducen el problema al caso donde la matriz $A$ es diagonal y el vector $b$ es cero.
2. Dominio de Aproximación: Eligen un dominio candidato $\Omega_0$ que es una pequeña bola $B_\varepsilon(x_0)$ centrada en un punto $x_0$ desplazado del origen, con radio $\varepsilon$ muy pequeño.
3. Problema Aproximante en Anillos Convexos:
   • Consideran un anillo convexo no concéntrico $\Omega^\varepsilon_R = E_R(0) \setminus \bar{B}_\varepsilon(x_0)$, donde $E_R(0)$ es una elipsoide grande.
   • Resuelven el problema de Dirichlet en este anillo acotado con datos de frontera adecuados (usando funciones simétricas generalizadas como subsoluciones).
   • Establecen estimaciones uniformes $C^2$ para las soluciones $u_{\varepsilon, R}$ en los bordes y en el interior, utilizando el principio del máximo y estimaciones de gradiente.
4. Límites Secuenciales:
   • Primero, hacen $R \to \infty$ para obtener una solución en el dominio exterior $B_\varepsilon(x_0)$.
   • Luego, hacen $\varepsilon \to 0$. Para manejar la singularidad en $x_0$, utilizan la teoría de medidas k-Hessian desarrollada por Guan y Wang.
   • Demuestran que la solución límite $\tilde{u}_\varepsilon$ converge localmente en el sentido de la medida k-Hessian a un polinomio cuadrático $\psi(x) = \frac{1}{2}x^T A x + c$.
5. Argumento de Contradicción:
   • Asumen que para todo $\varepsilon$ pequeño, la solución es cuasiconvexa.
   • Utilizan la convergencia a $\psi$ y la convexidad de los conjuntos de subnivel para mostrar que $\psi(x) \le \psi(0)$ para puntos en el segmento entre $x_0$ y el origen.
   • Esto lleva a una contradicción directa con la definición de $\psi$ en $x_0$ (ya que $\psi(x_0) > \psi(0)$ debido a que $x_0 \neq 0$ y $A$ es definida positiva).
   • Por lo tanto, debe existir algún $\varepsilon$ suficientemente pequeño para el cual la solución no es cuasiconvexa.

B. Nueva Prueba para el Caso Armónico (Teorema 1.6)

Para el caso $k=1$ (Laplaciano), los autores ofrecen una nueva prueba microscópica de la cuasiconcavidad de las soluciones armónicas en dominios exteriores.

• Método: Utilizan un proceso de deformación continua del dominio interior $\Omega_0$ hacia un dominio más grande $\Omega_1$.
• Herramientas Clave:
  • Análisis del comportamiento asintótico de la función armónica y su Hessiano en el infinito.
  • Cálculo explícito de la curvatura gaussiana $K(x)$ de los conjuntos de nivel en el infinito, mostrando que $K(x) \sim |x|^{1-n}$.
  • Uso de la superarmonicidad de una función auxiliar relacionada con la curvatura (establecida por Ma-Zhang) combinada con el principio del máximo fuerte para demostrar que la curvatura nunca se anula, manteniendo así la convexidad estricta de los conjuntos de nivel.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

1. Respuesta Negativa a la Cuasiconvexidad General:

   • Teorema 1.3: Para $2 \le k \le n/2$, se demuestra que existen dominios estrictamente convexos $\Omega_0$ y constantes $c$ tales que la solución única al problema exterior k-Hessian no es cuasiconvexa. Esto refuta la intuición de que la convexidad del dominio y el crecimiento cuadrático garantizan la convexidad global de los conjuntos de nivel.
   • Teorema 1.4: Para el caso Laplaciano ($k=1$), bajo la condición de que el autovalor máximo de $A$ sea menor que $1/2$, también se construyen contraejemplos donde la solución no es cuasiconvexa (aunque el resultado clásico de Lewis afirma cuasiconcavidad para funciones que decaen a cero, aquí se trata de soluciones con crecimiento cuadrático específico que no cumplen las condiciones de decaimiento clásico, o se muestra la sensibilidad a la geometría del dominio). Nota: El teorema 1.4 especifica que si $\lambda_{max}(A) < 1/2$, existen contraejemplos de no cuasiconvexidad, lo cual es un matiz importante sobre la sensibilidad de la propiedad.

2. Sensibilidad de la Propiedad:

   • Los resultados ilustran que la cuasiconvexidad es altamente sensible a pequeñas deformaciones del dominio. Incluso en dominios exteriormente convexos, la geometría no concéntrica (desplazamiento del centro de la bola interior) puede romper la convexidad global de los conjuntos de nivel.

3. Nueva Perspectiva para el Caso Armónico:

   • Teorema 1.6: Proporcionan una prueba alternativa y microscópica de la cuasiconcavidad de funciones armónicas en dominios exteriores que decaen a cero, utilizando estimaciones de curvatura gaussiana y teoría de deformación, reforzando los resultados clásicos de Lewis y Kawohl.

4. Desarrollo Técnico:

   • Avances en la obtención de estimaciones $C^2$ uniformes en anillos convexos no concéntricos para ecuaciones k-Hessian.
   • Aplicación refinada de la teoría de medidas k-Hessian para manejar la convergencia de soluciones con singularidades puntuales hacia polinomios cuadráticos.

4. Significado e Impacto

• Ruptura de Conjeturas: El trabajo desafía la expectativa de que la convexidad de los conjuntos de nivel es una propiedad inherente y robusta para soluciones de ecuaciones elípticas totalmente no lineales en dominios exteriores, incluso bajo condiciones de crecimiento cuadrático "buenas".
• Contraste con Resultados Positivos: Mientras que en anillos convexos acotados o para funciones armónicas con condiciones de decaimiento existen muchos resultados positivos de convexidad, este paper muestra que en dominios exteriores con crecimiento cuadrático, la propiedad puede fallar.
• Herramientas Analíticas: La combinación de estimaciones de regularidad en dominios no concéntricos con la teoría de medidas k-Hessian ofrece un marco metodológico potente para estudiar problemas de valor límite en dominios no acotados con singularidades.
• Relevancia en Física Matemática: Dado que las ecuaciones k-Hessian modelan fenómenos en geometría diferencial y física (como la teoría de elasticidad y flujo de curvatura media), entender la estructura de los conjuntos de nivel es crucial para la interpretación física de las soluciones.

En resumen, el artículo establece que la cuasiconvexidad no es una propiedad universal para soluciones k-Hessian en dominios exteriores con crecimiento cuadrático, proporcionando contraejemplos explícitos y una nueva comprensión de la relación entre la geometría del dominio, el comportamiento asintótico y la estructura de los conjuntos de nivel.