Non-convexity of level sets for solutions to $k$-Hessian equations in exterior domains

この論文「非凸領域における k-ヘッシアン方程式の解のレベルセットの非凸性（NON-CONVEXITY OF LEVEL SETS FOR SOLUTIONS TO k-HESSIAN EQUATIONS IN EXTERIOR DOMAINS）」は、外部領域における k-ヘッシアン方程式の解の準凸性（quasiconvexity）に関する研究です。著者らは、特定の条件下では解の準凸性が成り立たないことを示す反例を構築し、一方で調和関数（ラプラス方程式の解）については準凹性が保たれることを新たな手法で再証明しています。

以下に、論文の技術的な要約を問題設定、手法、主要な貢献・結果、意義の観点から詳述します。

1. 問題設定 (Problem)

本論文は、$\mathbb{R}^n$ ($n \ge 3$) 内の有界な厳密凸領域 $\Omega_0$ の外部 $\mathbb{R}^n \setminus \bar{\Omega}_0$ で定義された以下の k-ヘッシアン方程式のディリクレ問題を検討します。

$$\begin{cases} S_k(D^2u) = 1 & \text{in } \mathbb{R}^n \setminus \bar{\Omega}_0, \\ u = 0 & \text{on } \partial\Omega_0, \\ \lim_{|x|\to\infty} \left( u(x) - \left(\frac{1}{2}x^T A x + b \cdot x + c\right) \right) = 0 & \text{at infinity}. \end{cases}$$

ここで、$S_k(D^2u)$ はヘッシアン行列 $D^2u$ の固有値 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ の $k$ 次基本対称式（k-ヘッシアン演算子）です。特に $k=1$ の場合がラプラス方程式、$k=n$ の場合がモンジュ・アンペール方程式に対応します。

核心的な問い:
外部領域が凸であり、無限遠での漸近挙動が二次関数的（楕円体的）である場合、解 $u$ のすべての準レベルセット（sublevel sets）は凸になるか（すなわち、$u$ は準凸か）？
これまでに、$k=n$（モンジュ・アンペール）や半径対称な場合などでは準凸性が知られていましたが、一般の $1 \le k \le n-1$ に対しては未解決でした。

2. 手法とアプローチ (Methodology)

著者らは、以下の 2 つの主要な戦略を用いて問題を解決しました。

A. 反例の構築（非凸性の証明）

$k$ が $2 \le k \le n/2$ の範囲（および $k=1$ の特定の条件下）において、準凸性が成り立たないことを示すために、明示的な反例を構成しました。

1. 近似問題の設定:
   中心が原点からずれた小さな球 $B_\varepsilon(x_0)$ を内部境界とし、大きな楕円体 $E_R(0)$ を外部境界とする有界な凸リング $\Omega^\varepsilon_R$ 上で近似問題を解きます。
2. 解の存在と一様評価:
   Guan の結果や一般化された対称関数を用いて部分解を構成し、解の存在を保証します。さらに、$\varepsilon \to 0$ と $R \to \infty$ の極限において、解が一様に $C^2$ 評価を持つことを示します。
3. ヘッシアン測度の理論:
   特異点 $x_0$ における極限挙動を解析するために、k-ヘッシアン測度（k-Hessian measures）の理論（[28, 29] の枠組み）を適用します。これにより、$\varepsilon \to 0$ の極限で解が特定の二次多項式 $\psi(x) = \frac{1}{2}x^T A x + c$ に収束することを証明します。
4. 背理法による非凸性の導出:
   中心 $x_0$ が原点からずれている場合、極限解 $\psi(x)$ は原点付近で非凸なレベルセットを持つ可能性があります。具体的には、$x_0$ と原点を結ぶ線分上の点において、解の値が準凸性の条件を破ることを示します。すなわち、$\tilde{u}_\varepsilon$ の準レベルセットが凸であると仮定すると、極限において矛盾が生じることを導き出しました。

B. ラプラス方程式の場合の再証明（調和関数の準凹性）

$k=1$（ラプラス方程式）かつ無限遠で 0 に減衰する場合（$u=1$ on $\partial\Omega_1, u \to 0$ at $\infty$）について、Lewis [19] や Kawohl [16] による既知の「準凹性（superlevel sets が凸）」の結果を、新しい「微視的（microscopic）」な手法で再証明しました。

1. 連続変形法:
   内部領域 $\Omega_0$ から外部領域 $\Omega_1$ へ連続的に変形する凸領域の族 $\Omega_t$ を考え、各領域での解 $u_t$ を追跡します。
2. ガウス曲率の漸近挙動:
   無限遠における解の漸近展開（$u(x) \sim M|x|^{2-n}$）を用いて、レベルセットのガウス曲率 $K(x)$ が $|x| \to \infty$ で $|x|^{1-n}$ のオーダーで正になることを示しました。
3. 曲率関数の超調和性:
   Ma-Zhang [25] が確立した「曲率関数の超調和性（superharmonicity）」の結果を利用します。具体的には、$\psi_t = (|Du_t|^{n-3} K_t)^{\frac{1}{n-1}}$ が超調和関数であることを利用し、最大値原理とホップの補題を組み合わせることで、曲率がどこでも正（したがってレベルセットが厳密に凸）であることを示しました。

3. 主要な結果と貢献 (Key Results & Contributions)

定理 1.3 (k-ヘッシアン方程式の非凸性)

$n \ge 3$ かつ $2 \le k \le n/2$ とします。任意の対称正定値行列 $A$ とベクトル $b$ に対して、ある定数 $c^*$ が存在し、$c \ge c^*$ ならば、外部領域 $\mathbb{R}^n \setminus \bar{\Omega}_0$ における一意な k-凸解が存在しますが、その解は準凸ではありません。

• 貢献: 完全非線形方程式（fully nonlinear equations）の外部領域問題において、準凸性が一般的には成り立たないことを初めて示しました。特に、領域のわずかな変形（同心円からのずれ）が準凸性を破壊することを示しています。

定理 1.4 (ラプラス方程式の非凸性)

$k=1$ の場合、行列 $A$ の最大固有値が $\lambda_{\max}(A) < 1/2$ であるという追加条件の下で、同様に準凸でない解が存在します。

• 貢献: ラプラス方程式であっても、無限遠での二次成長の係数（行列 $A$）が特定の条件を満たす場合、準凸性が失われることを示しました。

定理 1.6 (調和関数の準凹性の微視的証明)

外部領域における調和関数（無限遠で 0 に減衰）は準凹であり、その超レベルセットはすべて厳密に凸であることを、ガウス曲率の漸近挙動と変形過程を用いた新しい手法で証明しました。

• 貢献: 既存の巨視的（macroscopic）な証明とは異なり、曲率の微視的な挙動に焦点を当てた新しい証明を提供しました。

4. 意義と結論 (Significance)

• 準凸性の敏感性: 本論文は、PDE の解の幾何学的性質（準凸性）が、定義域の形状や無限遠での漸近挙動に対して極めて敏感であることを示しました。特に、外部領域問題において、領域が凸であっても、解のレベルセットが凸になるとは限らないという重要な反例を提示しました。
• 完全非線形方程式への応用: これまでの研究では、凸リング（有界な凸領域の差）における非凸性の反例は限られていましたが、本論文はこれを「外部領域」へと拡張し、より一般的な設定で非凸性を確立しました。
• 手法の革新: k-ヘッシアン測度の理論を外部領域の極限問題に適用した点や、調和関数の準凹性証明にガウス曲率の漸近評価を組み合わせた点は、今後の偏微分方程式の幾何学的解析において重要な手法となるでしょう。

総じて、この論文は k-ヘッシアン方程式の外部領域問題における解の幾何学的性質に関する理解を深め、特に「凸性」が常に保証されるわけではないという重要な限界を明らかにした画期的な研究です。