Non-convexity of level sets for solutions to $k$-Hessian equations in exterior domains

Titolo: Non-convessità degli insiemi di livello per soluzioni di equazioni k-Hessian in domini esterni

Autori: Bo Wang, Cong Wang, Zhizhang Wang

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1. Il Problema e il Contesto

Il paper si occupa dello studio della quasi-convessità delle soluzioni al problema di Dirichlet esterno per le equazioni k-Hessian. Il problema è formulato come segue:
$$\begin{cases} S_k(D^2u) = 1 & \text{in } \mathbb{R}^n \setminus \bar{\Omega}_0, \\ u = 0 & \text{su } \partial\Omega_0, \end{cases}$$
dove $\Omega_0$ è un dominio limitato e strettamente convesso in $\mathbb{R}^n$ ($n \ge 3$), e $S_k(D^2u)$ è l'operatore k-Hessian, definito come la somma dei minori principali di ordine $k$ della matrice Hessiana $D^2u$.

Le soluzioni sono soggette a una condizione di crescita quadratica all'infinito:
$$\lim_{|x|\to\infty} \left( u(x) - \left(\frac{1}{2}x^T A x + b \cdot x + c\right) \right) = 0,$$
dove $A$ è una matrice simmetrica definita positiva con $S_k(A)=1$.

La domanda centrale (Question 1.1) è: Le soluzioni k-convesse a questo problema ereditano la convessità del dominio esterno? In altre parole, sono tutti i sotto-livelli di $u$ (insiemi $\{x : u(x) \le t\}$) convessi?
Mentre per il caso $k=n$ (equazione di Monge-Ampère) la soluzione è localmente convessa e quindi quasi-convessa, e per $k=1$ (equazione di Laplace) esistono risultati positivi sotto certe condizioni, la questione per $1 \le k \le n-1$ rimaneva aperta.

2. Metodologia

Gli autori adottano una strategia costruttiva basata su controesempi espliciti, combinando tecniche di analisi non lineare, teoria delle misure k-Hessian e stime asintotiche.

A. Costruzione di un Problema Approssimante

Per dimostrare l'esistenza di soluzioni non quasi-convessive, gli autori costruiscono prima un problema approssimante in un "anello convesso non concentrico" $\Omega_R^\varepsilon = E_R(0) \setminus \bar{B}_\varepsilon(x_0)$, dove:

• $E_R(0)$ è un ellissoide grande (approssimazione del comportamento all'infinito).
• $B_\varepsilon(x_0)$ è una piccola sfera centrata in $x_0 \neq 0$ (il dominio interno $\Omega_0$).
• Si impone un dato al bordo esterno che approssima la crescita quadratica desiderata.

B. Stime Uniformi e Convergenza

1. Esistenza e Unicità: Si utilizza il principio di confronto e la costruzione di subsoluzioni e sovrassoluzioni (funzioni simmetriche generalizzate) per garantire l'esistenza di soluzioni lisce $u_{\varepsilon, R}$.
2. Stime $C^2$ Uniformi: Vengono derivate stime uniformi per la soluzione e le sue derivate prime e seconde, indipendentemente dai parametri $\varepsilon$ (raggio della sfera interna) e $R$ (raggio del dominio esterno). Queste stime dipendono criticamente dalla curvatura dei bordi e dal comportamento delle derivate vicino alla singolarità.
3. Passaggio al Limite:
   • Si fa tendere $R \to \infty$ per ottenere una soluzione $u_\varepsilon$ nel dominio esterno $\mathbb{R}^n \setminus B_\varepsilon(x_0)$.
   • Si fa tendere $\varepsilon \to 0$ utilizzando la teoria delle misure k-Hessian (sviluppata in lavori precedenti di Guan, Wang e altri). Questo permette di gestire la singolarità nel punto $x_0$ e dimostrare che la soluzione estesa $\tilde{u}_\varepsilon$ converge localmente in $L^1$ e in misura k-Hessian al polinomio quadratico $\psi(x) = \frac{1}{2}x^T A x + c$.

C. Dimostrazione della Non-Quasi-Convessità

La prova della non-convessità avviene per assurdo:

• Si assume che per ogni $\varepsilon$ piccolo, i sotto-livelli di $u_\varepsilon$ siano convessi.
• Si considera un punto $x_0$ fuori dall'origine e si osserva il comportamento asintotico. Poiché la soluzione converge al polinomio quadratico $\psi$, e $\psi(x_0) > \psi(0)$ (per scelta appropriata dei parametri), la convessità dei sotto-livelli implicherebbe che il segmento che congiunge $x_0$ all'origine debba giacere all'interno di un certo sotto-livello.
• Tuttavia, il limite asintotico mostra una contraddizione: la soluzione non può mantenere la convessità del sotto-livello lungo il segmento verso l'origine senza violare la condizione al bordo o il comportamento asintotico. Questo porta alla conclusione che per $\varepsilon$ sufficientemente piccolo, la soluzione non è quasi-convessa.

D. Caso Laplaciano e Curvatura Gaussiana

Per il caso $k=1$ (equazione di Laplace), gli autori forniscono una nuova prova microscopica della quasi-concavità (per funzioni che decadono a zero) citata in letteratura (Lewis, Kawohl).

• Utilizzano un metodo di deformazione continua del dominio.
• Analizzano il comportamento asintotico della curvatura gaussiana degli insiemi di livello all'infinito.
• Dimostrano che la funzione $\psi = (|Du|^{n-3}K)^{\frac{1}{n-1}}$ è sovrarmonica.
• Usando il principio del massimo forte e stime quantitative (Lemma di Hopf), mostrano che la curvatura non può annullarsi, garantendo la convessità stretta degli insiemi di livello.

3. Risultati Principali

• Teorema 1.3 (Equazioni k-Hessian, $2 \le k \le n/2$): Per qualsiasi matrice $A$ e vettore $b$, esiste un dominio $\Omega_0$ (una sfera spostata dall'origine) e una costante $c$ sufficientemente grande tali che la soluzione unica al problema esterno non è quasi-convessa. Questo risponde negativamente alla Question 1.1.
• Teorema 1.4 (Caso Laplaciano, $k=1$): Sotto la condizione aggiuntiva $\lambda_{\max}(A) < 1/2$, esistono domini $\Omega_0$ tali che la soluzione non è quasi-convessa. Questo estende i risultati di [32] (che riguardavano anelli convessi limitati) ai domini esterni.
• Teorema 1.6 (Nuova prova per Laplace): Fornisce una dimostrazione rigorosa basata sulla curvatura gaussiana e sulla sovrarmonicità delle funzioni di curvatura, confermando la quasi-concavità per soluzioni armoniche che decadono a zero in domini esterni convessi.

4. Contributi Chiave e Significato

1. Risposta Negativa alla Congettura di Convessità: Il lavoro dimostra che, contrariamente all'intuizione geometrica (dove il dominio interno è convesso e il comportamento all'infinito è ellissoidale), la convessità degli insiemi di livello non è garantita per equazioni k-Hessian non lineari in domini esterni. La quasi-convessità è estremamente sensibile alle piccole deformazioni del dominio (spostamento del centro della sfera interna).
2. Estensione ai Domini Esterni: Mentre risultati precedenti sulla non-convessità esistevano per anelli convessi limitati, questo paper estende la costruzione di controesempi al caso di domini esterni illimitati, che è fisicamente più rilevante in molti contesti.
3. Metodologia Ibrida: L'uso combinato della teoria delle misure k-Hessian per gestire le singolarità e delle stime asintotiche precise per il comportamento all'infinito rappresenta un avanzamento tecnico significativo.
4. Nuova Prospettiva per il Caso Lineare: La nuova prova per il caso di Laplace, basata sull'analisi microscopica della curvatura gaussiana e non solo su argomenti macroscopici, offre uno strumento potente per studiare la convessità in contesti più generali.

In sintesi, il paper stabilisce che la proprietà di quasi-convessità, spesso attesa per soluzioni di equazioni ellittiche in domini convessi, può fallire in modo drammatico quando si considerano problemi esterni con crescita quadratica, a meno che non si tratti del caso lineare specifico o di condizioni molto restrittive.