Non-convexity of level sets for solutions to $k$-Hessian equations in exterior domains

1. O Problema Investigado

O artigo aborda a quasiconvexidade das soluções do problema de Dirichlet exterior para equações k-Hessianas. O problema é formulado da seguinte maneira:

Dado um domínio limitado estritamente convexo $\Omega_0 \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 3$), considera-se a equação:
$$\begin{cases} S_k(D^2u) = 1 & \text{em } \mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega}_0, \\ u = 0 & \text{em } \partial\Omega_0, \end{cases}$$
com um comportamento assintótico quadrático prescrito no infinito:
$$\lim_{|x|\to\infty} \left( u(x) - \left( \frac{1}{2}x^T A x + b \cdot x + c \right) \right) = 0,$$
onde $A$ é uma matriz simétrica definida positiva com $S_k(A)=1$, $b \in \mathbb{R}^n$ e $c$ é uma constante.

A questão central (Questão 1.1) é: As soluções k-convexas a este problema herdam a convexidade do domínio exterior? Ou seja, são todos os subconjuntos de nível $\{x : u(x) \le t\}$ convexos (quasiconvexidade)?

Embora existam resultados positivos para o caso linear ($k=1$, equação de Laplace) e para o caso Monge-Ampère ($k=n$) em certas configurações, a conjectura geral para $1 \le k \le n-1$ permanecia em aberto. O artigo busca responder se a convexidade dos subconjuntos de nível é uma propriedade universal para soluções com crescimento quadrático em domínios externos.

2. Metodologia

Os autores utilizam uma abordagem construtiva baseada em contraexemplos explícitos, combinada com técnicas avançadas de análise não-linear e teoria de medidas. A metodologia divide-se em três etapas principais:

A. Construção de Problemas Aproximados

Para evitar singularidades e lidar com a natureza do domínio externo, os autores introduzem um problema aproximado em um "anel convexo" não concêntrico $\Omega_R^\varepsilon = E_R(0) \setminus \overline{B}_\varepsilon(x_0)$, onde:

• $E_R(0)$ é uma elipse grande (definida pela matriz $A$).
• $B_\varepsilon(x_0)$ é uma bola pequena centrada em $x_0$ (deslocada da origem).
• As condições de contorno são $u=0$ na bola interna e uma função generalizada simétrica $u$ na elipse externa.

B. Estimativas Uniformes e Convergência

• Existência e Unicidade: Demonstram a existência de soluções suaves $u_{\varepsilon, R}$ usando o princípio da comparação e a construção de sub e super-soluções adequadas.
• Estimativas $C^0, C^1, C^2$: Estabelecem limites uniformes para a solução e suas derivadas, dependendo criticamente do raio $\varepsilon$ e do tamanho do domínio $R$. Isso é crucial para garantir a convergência quando $\varepsilon \to 0$ e $R \to \infty$.
• Teoria de Medidas k-Hessianas: Utilizam a teoria de medidas k-Hessianas (desenvolvida por Guan e outros) para analisar o limite da solução quando a bola interna encolhe para um ponto ($\varepsilon \to 0$). Eles provam que a sequência de soluções estendidas $\tilde{u}_\varepsilon$ converge localmente para um polinômio quadrático $\psi(x) = \frac{1}{2}x^T Ax + c$ no sentido da medida k-Hessiana.

C. Argumento de Contradição para Não-Quasiconvexidade

Para provar que a solução não é quasiconvexa, os autores utilizam um argumento por contradição:

1. Supõem que todos os subconjuntos de nível são convexos.
2. Analisam o comportamento da solução $u_\varepsilon$ perto do centro da bola deslocada $x_0$.
3. Demonstram que, devido à assimetria introduzida pelo deslocamento $x_0$ e à natureza da equação, a convexidade dos subconjuntos de nível forçaria uma desigualdade impossível entre os valores da solução no centro e na origem, contradizendo a estrutura do polinômio quadrático limite.

D. Prova Microscópica para o Caso de Laplace

Como um resultado secundário, os autores revisitam o caso clássico de funções harmônicas ($k=1$) que decaem a zero no infinito. Eles fornecem uma nova prova da quasiconcavidade (convexidade dos superconjuntos de nível) utilizando uma perspectiva "microscópica":

• Analisam o comportamento assintótico da curvatura gaussiana dos conjuntos de nível no infinito.
• Utilizam estimativas explícitas de decaimento e a super-harmonicidade de funções de curvatura (estabelecida por Ma-Zhang) para aplicar um processo de deformação contínua, provando que a curvatura nunca se anula, garantindo a convexidade estrita.

3. Principais Resultados

O artigo estabelece os seguintes teoremas principais:

• Teorema 1.3 (Caso Não-Linear $2 \le k \le n/2$): Para qualquer matriz $A$ definida positiva e vetor $b$, existe um domínio estritamente convexo $\Omega_0$ e uma constante $c^*$ tal que, para qualquer $c \ge c^*$, a solução única do problema exterior não é quasiconvexa.

  • Implicação: A convexidade dos subconjuntos de nível falha para equações k-Hessianas não-lineares em domínios externos, mesmo com crescimento quadrático.

• Teorema 1.4 (Caso de Laplace $k=1$): Sob a condição adicional de que o autovalor máximo de $A$ seja menor que $1/2$, também existem domínios onde a solução não é quasiconvexa.

  • Nota: Este resultado contrasta com o Teorema 1.6, que afirma que para funções harmônicas que decaem a zero (e não crescem quadraticamente), a quasiconcavidade é mantida. A não-convexidade aqui surge especificamente devido ao crescimento quadrático imposto.

• Teorema 1.6 (Revisão Microscópica): Confirma e prova de forma nova que soluções harmônicas em domínios externos que decaem a zero são estritamente quasiconcavas (superconjuntos de nível convexos).

4. Contribuições Chave

1. Resposta Negativa à Conjectura de Quasiconvexidade: O trabalho fornece a primeira resposta negativa explícita para a questão de se soluções k-convexas em domínios externos herdam a convexidade global. Isso demonstra que a quasiconvexidade é altamente sensível a pequenas deformações do domínio e às condições de crescimento no infinito.
2. Construção de Contraexemplos: A construção de soluções explícitas (via limites de problemas aproximados) que falham na quasiconvexidade é uma contribuição técnica significativa, especialmente para equações totalmente não-lineares.
3. Técnica de Medidas k-Hessianas: A aplicação rigorosa da teoria de medidas k-Hessianas para tratar a singularidade no limite $\varepsilon \to 0$ em domínios externos é uma inovação metodológica importante.
4. Nova Prova para o Caso Harmônico: A prova do Teorema 1.6 via análise de curvatura gaussiana e deformação contínua oferece uma perspectiva alternativa e robusta aos métodos macroscópicos tradicionais (como o princípio do máximo para o envelope quasiconcavo).

5. Significado e Impacto

Este artigo é fundamental para a teoria das equações diferenciais parciais elípticas não-lineares e geometria convexa:

• Limites da Propagação de Convexidade: O trabalho esclarece que, ao contrário de domínios limitados (anéis convexos) onde resultados positivos são comuns, em domínios externos com crescimento quadrático, a convexidade dos subconjuntos de nível não é garantida para $k < n$.
• Sensibilidade Geométrica: Demonstra que a geometria do domínio e a posição relativa do centro de crescimento (deslocamento $x_0$) podem destruir a convexidade global, mesmo que o domínio de contorno seja estritamente convexo.
• Ferramentas Analíticas: As técnicas desenvolvidas para obter estimativas uniformes em anéis não concêntricos e o uso de medidas k-Hessianas para limites singulares são ferramentas valiosas para futuras pesquisas em problemas de Dirichlet exterior e equações de Monge-Ampère generalizadas.

Em resumo, o paper refuta uma expectativa natural de herança de convexidade em problemas de crescimento quadrático, estabelecendo novos limites para a teoria de quasiconvexidade em domínios não limitados.