On a certain arithmetic function defined via Bernoulli numbers

Technisches Resümee: Über eine bestimmte arithmetische Funktion, definiert über Bernoulli-Zahlen

Problemstellung
Die vorliegende Arbeit untersucht die Integritätseigenschaften einer spezifischen arithmetischen Funktion $\chi(n)$, die auf der Menge der ungeraden ganzen Zahlen $n \ge 3$ definiert ist. Diese Funktion wird unter Verwendung von Bernoulli-Zahlen ($B_j$) konstruiert und zielt darauf ab, ein einheitliches Kriterium zu etablieren, das zwischen drei distinkten Klassen von Zahlen unterscheidet: Primzahlen, Carmichael-Zahlen und Giuga-Zahlen. Das zentrale Problem besteht darin, zu bestimmen, für welche ungeraden ganzen Zahlen $n$ der Wert $\chi(n)$ (oder dessen skalierte Variante $\tilde{\chi}(n)$) einen ganzen Wert ergibt.

Methodik
Der Autor verwendet die elementare Zahlentheorie und stützt sich dabei maßgeblich auf den klassischen von Staudt-Clausen-Satz bezüglich der Nenner von Bernoulli-Zahlen. Die Methodik verläuft wie folgt:

1. Definition der Funktion: Die Funktion ist definiert als:
   $$\chi(n) = \frac{\text{denom}\left(\frac{B_{n-1}}{n-1}\right)}{n \cdot \text{denom}\left(B_{n-1} + \frac{1}{n}\right)}$$
   wobei $B_{n-1} = A/D$ die Bernoulli-Zahl in reduzierter Form ist. Die Arbeit betrachtet zudem die skalierte Funktion $\tilde{\chi}(n) = n \cdot \chi(n)$.

2. Anwendung von von Staudt-Clausen: Die Analyse nutzt den Satz, dass für jede positive ungerade Zahl $n$, $B_{n-1} + \sum \frac{1}{p}$ eine ganze Zahl ist, wobei die Summe über Primzahlen $p$ läuft, für die $(p-1) \mid (n-1)$ gilt. Dies ermöglicht die präzise Bestimmung der beteiligten Nenner für $\chi(n)$.

3. Fallunterscheidung: Das Papier evaluiert $\chi(n)$ systematisch für drei Fälle:

   • Primzahlen ($p$): Unter Verwendung der Eigenschaften des Nenners von $B_{p-1}$ beweist der Autor, dass $\chi(p)$ immer eine ganze Zahl ist.
   • Komposite Nicht-Carmichael-Zahlen: Der Autor zeigt auf, dass falls $n$ eine zusammengesetzte Zahl ist und das Korselt-Kriterium nicht erfüllt (d. h. es existiert ein Primteiler $q$, so dass $(q-1) \nmid (n-1)$), dann $\chi(n)$ keine ganze Zahl ist.
   • Carmichael-Zahlen: Für Carmichael-Zahlen (glatte, zusammengesetzte Zahlen, für die $(p-1) \mid (n-1)$ für alle Primteiler $p$ gilt) vereinfacht der Autor den Ausdruck für $\tilde{\chi}(n)$ und zeigt, dass diese immer eine ganze Zahl ist.

4. Verbindung zu Giuga-Zahlen: Das Papier verfeinert die Bedingung für Carmichael-Zahlen weiter. Es stellt fest, dass $\tilde{\chi}(n)$ durch $n$ teilbar ist (d. h. $n \mid \tilde{\chi}(n)$), wenn und nur wenn $n$ die Bedingung für eine Giuga-Zahl erfüllt ($n \equiv p \pmod{p^2}$ für alle Primteiler $p$).

Zentrale Beiträge und Ergebnisse
Das Hauptergebnis der Arbeit ist Theorem 1.6, welches eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Ganzzahligkeit von $\chi(n)$ liefert:

Die Funktion $\chi(n)$ ist ganzzahlig, wenn und nur wenn $n$ entweder eine Primzahl oder eine ungerade Giuga-Zahl ist.

Dieses Resultat vereinheitlicht die Charakterisierung von Primzahlen und hypothetischen ungeraden Giuga-Zahlen unter einem einzigen Integralitätskriterium, das aus Bernoulli-Zahlen abgeleitet wurde.

Weitere Befunde umfassen:

• Lemma 1.2: Für jede Primzahl $p$ ist $\chi(p)$ eine gerade ganze Zahl.
• Empirische Klassifizierung: Das Papier beobachtet, dass die Bedingung $\chi(p) = \lambda$ die Menge der Primzahlen in disjunkte Klassen $P_\lambda$ partitioniert. Der Autor liefert eine Tabelle der ersten zehn Primzahlen für verschiedene gerade Werte von $\lambda$ (von 2 bis 100).
• Konjektur 2.1: Das Papier schlägt eine Konjektur vor, die die Teilbarkeit des Zählers von $B_{p-1}$ durch $(p-1)/2$ mit der Darstellbarkeit der Primzahl $p$ durch die quadratische Form $-x^2 + 2xy + 2y^2$ verknüpft.

Bedeutung und Behauptungen
Das Papier behauptet, einen „elementaren“ Ansatz anzubieten, der einem breiten Publikum zugänglich ist und drei distinkte zahlentheoretische Konzepte vereinigt. Durch die Konstruktion von $\chi(n)$ demonstriert der Autor, dass die Eigenschaft, eine ganze Zahl zu sein, als Filter dient:

• Wenn $\chi(n) \in \mathbb{Z}$, dann ist $n$ entweder eine Primzahl oder eine ungerade Giuga-Zahl.
• Wenn $n$ eine Carmichael-Zahl ist, die jedoch keine Giuga-Zahl ist, ist $\chi(n)$ keine ganze Zahl (obwohl $\tilde{\chi}(n)$ dies ist).

Der Autor merkt an, dass die Existenz ungerader Giuga-Zahlen ein offenes Problem bleibt (bekannte untere Schranken legen nahe, dass sie mindestens 19.908 Dezimalstellen hätten, falls sie existieren). Folglich beansprucht das Papier nicht, die Existenz ungerader Giuga-Zahlen zu beweisen, sondern bietet vielmehr einen theoretischen Rahmen, in dem deren Existenz äquivalent zur Existenz zusammengesetzter ungerader ganzer Zahlen $n$ wäre, für die $\chi(n)$ eine ganze Zahl ist. Die Arbeit wird als Projekt im Rahmen der staatlichen Zuweisung des Ministeriums für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation präsentiert.