On a certain arithmetic function defined via Bernoulli numbers

Résumé Technique : Sur une certaine fonction arithmétique définie via les nombres de Bernoulli

Énoncé du Problème
L'article étudie les propriétés d'intégralité d'une fonction arithmétique spécifique, $\chi(n)$, définie sur l'ensemble des entiers impairs $n \ge 3$. Cette fonction est construite à l'aide des nombres de Bernoulli ($B_j$) et vise à établir un critère unifié qui distingue trois classes distinctes de nombres : les nombres premiers, les nombres de Carmichael et les nombres de Giuga. Le problème central est de déterminer pour quels entiers impairs $n$ la valeur de $\chi(n)$ (ou sa variante mise à l'échelle $\tilde{\chi}(n)$) est un entier.

Méthodologie
L'auteur s'appuie sur la théorie élémentaire des nombres, en utilisant abondamment le théorème classique de von Staudt-Clausen concernant les dénominateurs des nombres de Bernoulli. La méthodologie procède comme suit :

1. Définition de la fonction : La fonction est définie par :
   $$\chi(n) = \frac{\text{denom}\left(\frac{B_{n-1}}{n-1}\right)}{n \cdot \text{denom}\left(B_{n-1} + \frac{1}{n}\right)}$$
   où $B_{n-1} = A/D$ est le nombre de Bernoulli sous forme réduite. L'article considère également la fonction mise à l'échelle $\tilde{\chi}(n) = n \cdot \chi(n)$.

2. Application de von Staudt-Clausen : L'analyse utilise le théorème stipulant que pour tout entier impair positif $n$, $B_{n-1} + \sum \frac{1}{p}$ est un entier, où la somme porte sur les nombres premiers $p$ tels que $(p-1) \mid (n-1)$. Cela permet de déterminer précisément les dénominateurs impliqués dans $\chi(n)$.

3. Analyse de cas : L'article évalue systématiquement $\chi(n)$ pour trois cas :

   • Nombres premiers ($p$) : En utilisant les propriétés du dénominateur de $B_{p-1}$, l'auteur prouve que $\chi(p)$ est toujours un entier.
   • Nombres composés non de Carmichael : L'auteur démontre que si $n$ est composé et ne satisfait pas le critère de Korselt (c'est-à-dire qu'il existe un diviseur premier $q$ tel que $(q-1) \nmid (n-1)$), alors $\chi(n)$ n'est pas un entier.
   • Nombres de Carmichael : Pour les nombres de Carmichael (composés sans facteur carré où $(p-1) \mid (n-1)$ pour tout diviseur premier $p$), l'auteur simplifie l'expression de $\tilde{\chi}(n)$ et montre qu'elle est toujours un entier.

4. Lien avec les nombres de Giuga : L'article affine davantage la condition pour les nombres de Carmichael. Il établit que $\tilde{\chi}(n)$ est divisible par $n$ (c'est-à-dire $n \mid \tilde{\chi}(n)$) si et seulement si $n$ satisfait la condition pour être un nombre de Giuga ($n \equiv p \pmod{p^2}$ pour tous les diviseurs premiers $p$).

Contributions Principales et Résultats
Le résultat principal de l'article est le Théorème 1.6, qui fournit une condition nécessaire et suffisante pour l'intégralité de $\chi(n)$ :

La fonction $\chi(n)$ est à valeurs entières si et seulement si $n$ est soit un nombre premier, soit un nombre de Giuga impair.

Ce résultat unifie efficacement la caractérisation des nombres premiers et des hypothétiques nombres de Giuga impairs sous un critère d'intégralité unique dérivé des nombres de Bernoulli.

Les résultats additionnels incluent :

• Lemme 1.2 : Pour tout nombre premier $p$, $\chi(p)$ est un entier pair.
• Classification Empirique : L'article observe que la condition $\chi(p) = \lambda$ partitionne l'ensemble des nombres premiers en classes disjointes $P_\lambda$. L'auteur fournit un tableau des dix premiers nombres premiers pour diverses valeurs paires de $\lambda$ (allant de 2 à 100).
• Conjecture 2.1 : L'article propose une conjecture liant la divisibilité du numérateur de $B_{p-1}$ par $(p-1)/2$ à la représentabilité du nombre premier $p$ par la forme quadratique $-x^2 + 2xy + 2y^2$.

Signification et Revendications
L'article affirme proposer une approche « élémentaire » accessible à un large public qui unifie trois concepts distincts de la théorie des nombres. En construisant $\chi(n)$, l'auteur démontre que la propriété d'être un entier sert de filtre :

• Si $\chi(n) \in \mathbb{Z}$, alors $n$ est soit un nombre premier, soit un nombre de Giuga impair.
• Si $n$ est un nombre de Carmichael qui n'est pas un nombre de Giuga, $\chi(n)$ n'est pas un entier (bien que $\tilde{\chi}(n)$ le soit).

L'auteur note que l'existence de nombres de Giuga impairs reste un problème ouvert (les bornes inférieures connues suggérant qu'ils auraient au moins 19 908 chiffres décimaux s'ils existent). Par conséquent, l'article ne prétend pas prouver l'existence de nombres de Giuga impairs, mais propose plutôt un cadre théorique où leur existence serait équivalente à l'existence d'entiers impairs composés $n$ pour lesquels $\chi(n)$ est un entier. Le travail est présenté comme un projet d'affectation d'État du Ministère de l'Éducation et de la Science de la Fédération de Russie.