On a certain arithmetic function defined via Bernoulli numbers

技术摘要：关于由伯努利数定义的某种算术函数

问题陈述
本文研究了定义在奇整数集 $n \ge 3$ 上的特定算术函数 $\chi(n)$ 的整除性质。该函数利用伯努利数 ($B_j$) 构建，旨在建立一个统一的判据，以区分三类不同的数字：素数、卡迈克尔数（Carmichael numbers）和吉尤加数（Giuga numbers）。核心问题是确定对于哪些奇整数 $n$，$\chi(n)$ 的值（或其缩放变体 $\tilde{\chi}(n)$）为整数。

方法论
作者采用了初等数论方法，大量依赖于关于伯努利数分母的经典冯·斯托特-克劳森定理（von Staudt-Clausen theorem）。其方法论如下：

1. 函数的定义： 函数定义为：
   $$\chi(n) = \frac{\text{denom}\left(\frac{B_{n-1}}{n-1}\right)}{n \cdot \text{denom}\left(B_{n-1} + \frac{1}{n}\right)}$$
   其中 $B_{n-1} = A/D$ 是化简形式的伯努利数。文中还考虑了缩放函数 $\tilde{\chi}(n) = n \cdot \chi(n)$。

2. 冯·斯托特-克劳森定理的应用： 分析利用了该定理，即对于任何正奇数 $n$，$B_{n-1} + \sum \frac{1}{p}$ 是一个整数，其中求和项中的素数 $p$ 满足 $(p-1) \mid (n-1)$。这使得精确确定 $\chi(n)$ 中涉及的分母成为可能。

3. 分类讨论： 本文系统地评估了 $\chi(n)$ 在三种情况下的表现：

   • 素数 ($p$)： 利用 $B_{p-1}$ 分母的性质，作者证明 $\chi(p)$ 始终是整数。
   • 非卡迈克尔合数： 作者证明，如果 $n$ 是合数且不满足科塞尔判据（Korselt's criterion，即存在素因子 $q$ 使得 $(q-1) \nmid (n-1)$），则 $\chi(n)$ 不是整数。
   • 卡迈克尔数： 对于卡迈克尔数（满足对所有素因子 $p$ 均有 $(p-1) \mid (n-1)$ 的无平方因子合数），作者简化了 $\tilde{\chi}(n)$ 的表达式，并证明 $\tilde{\chi}(n)$ 始终是整数。

4. 与吉尤加数的联系： 本文进一步完善了卡迈克尔数的条件。作者确立了 $\tilde{\chi}(n)$ 能被 $n$ 整除（即 $n \mid \tilde{\chi}(n)$）的充要条件是 $n$ 满足吉尤加数条件（对于所有素因子 $p$，满足 $n \equiv p \pmod{p^2}$）。

主要贡献与结果
本文的主要结果是定理 1.6，它提供了 $\chi(n)$ 整性的充分必要条件：

函数 $\chi(n)$ 取整数值的充要条件是 $n$ 为素数或奇吉尤加数。

这一结果有效地将素数和假设中的奇吉尤加数的特征统一在同一个由伯努利数导出的整性判据之下。

其他发现包括：

• 引理 1.2： 对于任何素数 $p$，$\chi(p)$ 是一个偶整数。
• 经验分类： 本文观察到，条件 $\chi(p) = \lambda$ 将素数集划分为不相交的类 $P_\lambda$。作者针对各种偶值 $\lambda$（范围从 2 到 100）提供了前十个素数的表格。
• 猜想 2.1： 本文提出了一个猜想，将 $B_{p-1}$ 的分子被 $(p-1)/2$ 整除性与素数 $p$ 能否由二次型 $-x^2 + 2xy + 2y^2$ 表示联系起来。

意义与主张
本文声称提供了一种面向广泛受众的“初等”方法，统一了三个不同的数论概念。通过构建 $\chi(n)$，作者展示了“是否为整数”这一属性如何起到过滤器的作用：

• 若 $\chi(n) \in \mathbb{Z}$，则 $n$ 是素数或奇吉尤加数。
• 若 $n$ 是不是吉尤加数的卡迈克尔数，则 $\chi(n)$ 不是整数（尽管 $\tilde{\chi}(n)$ 是）。

作者指出，奇吉尤加数的存在性仍是一个开放问题（已知的下界表明，如果存在，它们至少应具有 19,908 位十进制数字）。因此，本文并不声称证明了奇吉尤加数的存在性，而是提供了一个理论框架，在该框架下，奇吉尤加数的存在性等价于存在使 $\chi(n)$ 为整数的合奇数 $n$。本研究作为俄罗斯联邦教育与科学部的课题项目呈现。