On a certain arithmetic function defined via Bernoulli numbers

Resumen Técnico: Sobre una cierta función aritmética definida mediante números de Bernoulli

Planteamiento del Problema
El artículo investiga las propiedades de integralidad de una función aritmética específica, $\chi(n)$, definida sobre el conjunto de los enteros impares $n \ge 3$. Esta función se construye utilizando números de Bernoulli ($B_j$) y tiene como objetivo establecer un criterio unificado que distinga entre tres clases distintas de números: números primos, números de Carmichael y números de Giuga. El problema central es determinar para qué enteros impares $n$ el valor de $\chi(n)$ (o su variante escalada $\tilde{\chi}(n)$) resulta en un entero.

Metodología
El autor emplea la teoría de números elemental, apoyándose fuertemente en el teorema clásico de von Staudt-Clausen relativo a los denominadores de los números de Bernoulli. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Definición de la Función: La función se define como:
   $$\chi(n) = \frac{\text{denominador}\left(\frac{B_{n-1}}{n-1}\right)}{n \cdot \text{denominador}\left(B_{n-1} + \frac{1}{n}\right)}$$
   donde $B_{n-1} = A/D$ es el número de Bernoulli en su forma reducida. El artículo también considera la función escalada $\tilde{\chi}(n) = n \cdot \chi(n)$.

2. Aplicación de von Staudt-Clausen: El análisis utiliza el teorema que establece que para cualquier entero impar positivo $n$, $B_{n-1} + \sum \frac{1}{p}$ es un entero, donde la suma recorre los primos $p$ tales que $(p-1) \mid (n-1)$. Esto permite la determinación precisa de los denominadores involucrados en $\chi(n)$.

3. Análisis de Casos: El artículo evalúa sistemáticamente $\chi(n)$ para tres casos:

   • Números primos ($p$): Utilizando las propiedades del denominador de $B_{p-1}$, el autor demuestra que $\chi(p)$ es siempre un entero.
   • Números compuestos no de Carmichael: El autor demuestra que si $n$ es compuesto y falla el criterio de Korselt (es decir, existe un divisor primo $q$ tal que $(q-1) \nmid (n-1)$), entonces $\chi(n)$ no es un entero.
   • Números de Carmichael: Para los números de Carmichael (compuestos libres de cuadrados donde $(p-1) \mid (n-1)$ para todos los divisores primos $p$), el autor simplifica la expresión para $\tilde{\chi}(n)$ y muestra que este es siempre un entero.

4. Conexión con los Números de Giuga: El artículo refina aún más la condición para los números de Carmichael. Establece que $\tilde{\chi}(n)$ es divisible por $n$ (es decir, $n \mid \tilde{\chi}(n)$) si y solo si $n$ satisface la condición para ser un número de Giuga ($n \equiv p \pmod{p^2}$ para todos los divisores primos $p$).

Contribuciones y Resultados Clave
El resultado principal del artículo es el Teorema 1.6, que proporciona una condición necesaria y suficiente para la integralidad de $\chi(n)$:

La función $\chi(n)$ toma valores enteros si y solo si $n$ es un número primo o un número de Giuga impar.

Este resultado unifica efectivamente la caracterización de los primos y los hipotéticos números de Giuga impares bajo un único criterio de integralidad derivado de los números de Bernoulli.

Hallazgos adicionales incluyen:

• Lema 1.2: Para cualquier primo $p$, $\chi(p)$ es un entero par.
• Clasificación Empírica: El artículo observa que la condición $\chi(p) = \lambda$ particiona el conjunto de los números primos en clases disjuntas $P_\lambda$. El autor proporciona una tabla de los primeros diez primos para varios valores pares de $\lambda$ (que van desde 2 hasta 100).
• Conjetura 2.1: El artículo propone una conjetura que vincula la divisibilidad del numerador de $B_{p-1}$ por $(p-1)/2$ con la representabilidad del primo $p$ por la forma cuadrática $-x^2 + 2xy + 2y^2$.

Significado y Pretensiones
El artículo afirma ofrecer un enfoque "elemental" accesible para una audiencia amplia que unifica tres conceptos distintos de la teoría de números. Al construir $\chi(n)$, el autor demuestra que la propiedad de ser un entero sirve como un filtro:

• Si $\chi(n) \in \mathbb{Z}$, entonces $n$ es un número primo o un número de Giuga impar.
• Si $n$ es un número de Carmichael que no es un número de Giuga, $\chi(n)$ no es un entero (aunque $\tilde{\chi}(n)$ sí lo es).

El autor señala que la existencia de números de Giuga impares sigue siendo un problema abierto (los límites inferiores conocidos sugieren que tendrían al menos 19,908 dígitos decimales si existieran). Por consiguiente, el artículo no pretende probar la existencia de números de Giuga impares, sino que proporciona un marco teórico donde su existencia sería equivalente a la existencia de enteros impares compuestos $n$ para los cuales $\chi(n)$ es un entero. El trabajo se presenta como un proyecto de asignación de estado del Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación de Rusia.