On a certain arithmetic function defined via Bernoulli numbers

Sintesi Tecnica: Su una determinata funzione aritmetica definita tramite i numeri di Bernoulli

Enunciato del Problema
Il saggio investiga le proprietà di interezza di una specifica funzione aritmetica, $\chi(n)$, definita sull'insieme degli interi dispari $n \ge 3$. Questa funzione è costruita utilizzando i numeri di Bernoulli ($B_j$) e mira a stabilire un criterio unificato che distingua tra tre classi distinte di numeri: numeri primi, numeri di Carmichael e numeri di Giuga. Il problema centrale è determinare per quali interi dispari $n$ il valore di $\chi(n)$ (o la sua variante scalata $\tilde{\chi}(n)$) risulti un intero.

Metodologia
L'autore si avvale della teoria dei numeri elementare, facendo ampio uso del classico teorema di von Staudt-Clausen riguardante i denominatori dei numeri di Bernoulli. La metodologia procede come segue:

1. Definizione della Funzione: La funzione è definita come:
   $$\chi(n) = \frac{\text{denom}\left(\frac{B_{n-1}}{n-1}\right)}{n \cdot \text{denom}\left(B_{n-1} + \frac{1}{n}\right)}$$
   dove $B_{n-1} = A/D$ è il numero di Bernoulli in forma ridotta. Il saggio considera anche la funzione scalata $\tilde{\chi}(n) = n \cdot \chi(n)$.

2. Applicazione di von Staudt-Clausen: L'analisi utilizza il teorema il quale afferma che per ogni intero dispari positivo $n$, $B_{n-1} + \sum \frac{1}{p}$ è un intero, dove la sommatoria è sui numeri primi $p$ tali che $(p-1) \mid (n-1)$. Ciò consente la determinazione precisa dei denominatori coinvolti in $\chi(n)$.

3. Analisi dei Casi: Il saggio valuta sistematicamente $\chi(n)$ per tre casi:

   • Numeri primi ($p$): Utilizzando le proprietà del denominatore di $B_{p-1}$, l'autore dimostra che $\chi(p)$ è sempre un intero.
   • Numeri composti non di Carmichael: L'autore dimostra che se $n$ è composto e non soddisfa il criterio di Korselt (ovvero esiste un divisore primo $q$ tale che $(q-1) \nmid (n-1)$), allora $\chi(n)$ non è un intero.
   • Numeri di Carmichael: Per i numeri di Carmichael (compositi privi di quadrati dove $(p-1) \mid (n-1)$ per ogni divisore primo $p$), l'autore semplifica l'espressione di $\tilde{\chi}(n)$ e mostra che essa è sempre un intero.

4. Connessione ai Numeri di Giuga: Il saggio perfeziona ulteriormente la condizione per i numeri di Carmichael. Stabilisce che $\tilde{\chi}(n)$ è divisibile per $n$ (ovvero $n \mid \tilde{\chi}(n)$) se e solo se $n$ soddisfa la condizione per essere un numero di Giuga ($n \equiv p \pmod{p^2}$ per ogni divisore primo $p$).

Contributi Principali e Risultati
Il risultato primario del saggio è il Teorema 1.6, che fornisce una condizione necessaria e sufficiente per l'interezza di $\chi(n)$:

La funzione $\chi(n)$ assume valori interi se e solo se $n$ è un numero primo o un numero dispari di Giuga.

Questo risultato unifica efficacemente la caratterizzazione dei numeri primi e dei ipotetici numeri dispari di Giuga sotto un unico criterio di interezza derivato dai numeri di Bernoulli.

Ulteriori scoperte includono:

• Lemma 1.2: Per ogni numero primo $p$, $\chi(p)$ è un intero pari.
• Classificazione Empirica: Il saggio osserva che la condizione $\chi(p) = \lambda$ partiziona l'insieme dei numeri primi in classi disgiunte $P_\lambda$. L'autore fornisce una tabella dei primi dieci numeri primi per vari valori pari di $\lambda$ (compresi tra 2 e 100).
• Congettura 2.1: Il saggio propone una congettura che lega la divisibilità del numeratore di $B_{p-1}$ per $(p-1)/2$ alla rappresentabilità del numero primo $p$ dalla forma quadratica $-x^2 + 2xy + 2y^2$.

Significatività e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di offrire un approccio "elementare", accessibile a un vasto pubblico, che unifica tre distinti concetti della teoria dei numeri. Costruendo $\chi(n)$, l'autore dimostra che la proprietà di essere un intero funge da filtro:

• Se $\chi(n) \in \mathbb{Z}$, allora $n$ è un numero primo o un numero dispari di Giuga.
• Se $n$ è un numero di Carmichael che non è un numero di Giuga, $\chi(n)$ non è un intero (sebbene $\tilde{\chi}(n)$ lo sia).

L'autore nota che l'esistenza di numeri dispari di Giuga rimane un problema aperto (i limiti inferiori noti suggeriscono che dovrebbero avere almeno 19.908 cifre decimali, se esistono). Di conseguenza, il saggio non pretende di provare l'esistenza dei numeri dispari di Giuga, ma piuttosto fornisce un quadro teorico in cui la loro esistenza sarebbe equivalente all'esistenza di interi dispari composti $n$ per i quali $\chi(n)$ è un intero. Il lavoro è presentato come un progetto di assegnazione di stato del Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione Russa.