Counting Truchet Tile Balls

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Mathematiker, aber anstatt Gleichungen an einer Tafel zu lösen, spielen Sie mit einem riesigen, kosmischen LEGO-Ball. Dies ist nicht nur das Stapeln von Blöcken; es geht um einen Zweig der Mathematik namens Kombinatorik, die im Wesentlichen die Kunst des Zählens von Möglichkeiten ist. Man kann es sich wie das Berechnen vorstellen, wie viele verschiedene Möglichkeiten man ein Kartendeck anordnen kann oder wie viele einzigartige Passwörter man mit einem bestimmten Satz von Buchstaben erstellen kann. Aber hier sind die „Karten“ die Paneele eines Fußballballs und die „Passwörter“ sind die Muster, die auf sie gemalt sind.

Um das Rätsel zu verstehen, benötigen Sie zwei Hauptideen. Erstens gibt es das Truchet-Tile. Stellen Sie sich eine quadratische Kachel mit einer geschwungenen Linie vor, die darauf gezeichnet ist. Wenn Sie diese Kachel drehen, sieht die Linie anders aus. Wenn Sie einen ganzen Boden mit diesen Kacheln bedecken und jede dieser Kacheln nach Belieben drehen können, können Sie Millionen von wilden, gewundenen Mustern erzeugen. Zweitens gibt es das Konzept der Symmetrie. Wenn Sie einen Fußball haben und ihn um die Achse drehen, sieht er von außen gleich aus, auch wenn sich die Muster im Inneren verschoben haben. Die große Frage in diesem Bereich lautet: „Wenn ich eine Menge dieser rotierenden Kacheln habe und sie auf einen Ball klebe, wie viele wirklich einzigartige Bälle kann ich herstellen?“ Es klingt einfach, ist aber knifflig, weil ein Ball, der anders aussieht, nur derselbe Ball sein kann, den man in der Hand gedreht hat. Dies ist wichtig, weil es uns hilft, die verborgene Ordnung in komplexen Formen zu verstehen, von Viren bis hin zu Fußbällen, und es verwandelt ein einfaches Spiel der Dekoration in ein tiefgründiges mathematisches Abenteuer.

Lassen Sie uns nun über das spezifische Abenteuer sprechen, das Thomas Fernique in dieser Arbeit unternommen hat. Er untersuchte ein sehr spezifisches Design eines Fußballballs, das von dem Künstler Jon-Paul Wheatley entworfen wurde. Wheatley entwarf Paneele für die Fünfecke (die fünfseitigen Formen) und Sechsecke (die sechsseitigen Formen), die wie Truchet-Tiles aussehen. Die Magie von Wheatheleys Design ist, dass das Muster, egal wie man ein Paneel rotiert, immer perfekt mit seinen Nachbarn verbunden bleibt, weil die Kanten zusammenpassen. Das bedeutet, dass man jedes einzelne der 20 Sechsecke auf dem Ball auf drei verschiedene Arten drehen kann, während die 12 Fünfecke gleich bleiben (da ihr Design perfekt symmetrisch ist).

Wenn man einfach nur die Mathematik betreiben würde, ohne an das Drehen des Balls zu denken, erhielte man eine riesige Zahl: 3 hoch 20. Das sind über 3 Milliarden verschiedene aussehende Bälle. Aber hier ist der Haken: Wenn man einen Ball herstellt und dann den gesamten Ball dreht, ist es immer noch derselbe Ball, nur aus einem anderen Blickwinkel betrachtet. Daher ist die eigentliche Frage, wie viele unterschiedliche Bälle es gibt, wenn wir diejenigen ignorieren, die nur rotierte Versionen desselben Objekts sind.

Fernique nutzte ein mächtiges mathematisches Werkzeug namens Burnsides Lemma, um dies zu lösen. Man kann sich dieses Werkzeug als einen superintelligenten Filter vorstellen. Es nimmt all diese 3 Milliarden Möglichkeiten und filtert die Duplikate heraus, die nur Rotationen desselben Objekts sind. Die Arbeit berechnet genau, wie oft der Ball rotiert werden kann (es gibt 60 verschiedene Möglichkeiten, einen Fußball zu drehen, sodass er sich selbst gleicht) und zählt, wie viele Muster nach jeder spezifischen Drehung gleich bleiben.

Das Ergebnis? Nachdem alle „nur gedrehten“ Duplikate herausgefiltert wurden, sinkt die Zahl der wirklich einzigartigen Bälle von 3 Milliarden auf 58.130.055. Das ist immer noch eine massive Zahl – etwa 58 Millionen verschiedene Fußbälle. Um dies in Perspektive zu setzen, stellt die Arbeit fest, dass dies in etwa der Anzahl der Fußbälle entspricht, die jedes Jahr weltweit hergestellt werden. Wenn man all diese einzigartigen Bälle auf den Boden legen würde, würden sie etwa 243 Hektar bedecken, was in etwa der Größe des Hyde Parks in London entspricht. Wenn man sie wie Orangen auf einem Markt stapeln würde, würden sie einen Würfel mit Seitenlängen von 76 Metern füllen, was etwa 175 olympischen Schwimmbecken entspricht.

Die Arbeit geht nicht einfach so weiter. Sie stellt auch eine „Was wäre wenn“-Frage: Was wäre, wenn wir andere Muster verwenden würden, die auf mehr Arten rotiert werden könnten? Die Autoren zeigen, dass sich die Zahl der einzigartigen Bälle, wenn man die Muster so ändert, dass die Fünfecke 5 mögliche Orientierungen und die Sechsecke ebenfalls 5 haben, auf eine astronomische Zahl von 388.051.072.794.677.890.625 aufbläht. Diese Zahl ist so groß, dass, wenn man sie stapeln würde, sie die gesamte Erde, einschließlich der Ozeane, mit einer Tiefe von etwa 5.700 Metern bedecken würde – höher als der Berg Ararat. Die Autoren nennen dies eine „Flut von Bällen“.

Die Arbeit zählt also nicht nur Kacheln; sie nutzt einen klassischen Fußball und einige clevere Mathematik, um uns den Unterschied zwischen „anders aussehen“ und „anders sein“ zu zeigen. Sie beweist, dass selbst mit einem einfachen Satz von Regeln das Universum der Möglichkeiten so gewaltig ist, dass es einen Park, eine Stadt oder sogar den ganzen Planeten füllen kann, je nachdem, wie man das Spiel spielt.