Counting Truchet Tile Balls

Imaginez que vous êtes un mathématicien, mais qu'au lieu de résoudre des équations sur un tableau noir, vous jouez avec une géante boule de LEGO cosmique. Il ne s'agit pas seulement d'empiler des blocs ; il s'agit d'une branche des mathématiques appelée la combinatoire, qui est essentiellement l'art de compter les possibilités. Considérez cela comme le fait de chercher de combien de façons différentes on peut disposer un jeu de cartes ou combien de mots de passe uniques on peut créer avec un ensemble spécifique de lettres. Mais ici, les « cartes » sont les panneaux d'un ballon de football, et les « mots de passe » sont les motifs peints sur eux.

Pour comprendre l'énigme, vous avez besoin de deux idées principales. Premièrement, le carreau de Truchet. Imaginez un carreau carré avec une ligne courbe dessinée dessus. Si vous faites pivoter ce carreau, la ligne semble différente. Si vous avez tout un sol recouvert de ces carreaux, et que vous pouvez faire pivoter chacun d'eux comme bon vous semble, vous pouvez créer des millions de motifs sauvages et sinueux. Deuxièmement, il y a le concept de symétrie. Si vous avez un ballon de football et que vous le faites tourner sur lui-même, il semble identique de l'extérieur, même si les motifs à l'intérieur ont bougé. La grande question dans ce domaine est : « Si j'ai un tas de ces carreaux pivotants et que je les colle sur un ballon, combien de ballons véritablement uniques puis-je créer ? » Cela semble simple, mais c'est complexe car un ballon qui semble différent pourrait simplement être le même ballon retourné dans votre main. Cela importe car cela nous aide à comprendre l'ordre caché dans les formes complexes, des virus aux ballons de football, et cela transforme un simple jeu de décoration en une profonde aventure mathématique.

Parlons maintenant de l'aventure spécifique que Thomas Fernique a entreprise dans cet article. Il a étudié un type très spécifique de design de ballon de football créé par un artiste nommé Jon-Paul Wheatley. Wheatley a conçu des panneaux pour les pentagones (les formes à 5 côtés) et les hexagones (les formes à 6 côtés) qui ressemblent à des carreaux de Truchet. La magie du design de Wheatley est que, peu importe la façon dont vous faites pivoter un panneau, il se connecte toujours parfaitement avec ses voisins car les bords correspondent. Cela signifie que vous pouvez faire pivoter chaque panneau des 20 hexagones du ballon de trois manières différentes, tandis que les 12 pentagones restent identiques (car leur design est parfaitement symétrique).

Si vous faisiez simplement le calcul sans penser à la rotation du ballon, vous obtiendriez un nombre énorme : 3 à la puissance 20. Cela représente plus de 3 milliards de ballons différents. Mais voici le piège : si vous fabriquez un ballon et que vous le faites pivoter, c'est toujours le même ballon, juste vu sous un autre angle. Ainsi, la vraie question est de savoir combien de ballons distincts existent si nous ignorons ceux qui ne sont que des versions pivotées des autres.

Fernique a utilisé un outil mathématique puissant appelé le Lemme de Burnside pour résoudre cela. Vous pouvez voir cet outil comme un filtre super intelligent. Il prend toutes les 3 milliards de possibilités et filtre les doublons qui ne sont que des rotations du même objet. L'article calcule exactement combien de fois le ballon peut être pivoté (il y a 60 façons différentes de faire pivoter un ballon de football pour qu'il se ressemble) et compte combien de motifs restent identiques après chaque rotation spécifique.

Le résultat ? Après avoir filtré tous les doublons de type « simplement retourné », le nombre de ballons véritablement uniques chute de 3 milliards à 58 130 055. C'est encore un nombre massif — environ 58 millions de ballons de football différents. Pour donner une perspective, l'article note que c'est approximativement le nombre de ballons de football fabriqués dans le monde entier chaque année. Si vous étaliez tous ces ballons uniques sur le sol, ils couvriraient environ 243 hectares, soit environ la taille de Hyde Park à Londres. Si vous les empiliez comme des oranges sur un marché, ils rempliraient un cube dont les côtés mesurent 76 mètres de long, soit environ 175 piscines olympiques.

L'article ne s'arrête pas là. Il pose également une question de type « et si » : Et si nous utilisions des motifs différents qui pourraient être pivotés de plus de manières ? Les auteurs montrent que si nous changeons les motifs de sorte que les pentagones aient 5 orientations possibles et les hexagones aussi, le nombre de ballons uniques explose pour atteindre le chiffre stupéfiant de 388 051 072 794 677 890 625. Ce nombre est si grand que si vous les empiliez, ils couvriraient la Terre entière, océans inclus, à une profondeur d'environ 5 700 mètres — plus haut que le mont Ararat. Les auteurs appellent cela un « Déluge de ballons ».

Ainsi, l'article ne se contente pas de compter des carreaux ; il utilise un simple ballon de football et des mathématiques astucieuses pour nous montrer la différence entre « avoir l'air différent » et « être différent ». Il prouve que même avec un ensemble de règles simples, l'univers des possibilités est assez vaste pour remplir un parc, une ville, ou même la planète entière, selon la façon dont on joue le jeu.