Counting Truchet Tile Balls

당신이 수학자라고 상상해 보세요. 하지만 칠판에 방정식을 푸는 대신, 거대한 우주적 레고 공을 가지고 놀고 있는 모습입니다. 이것은 단순히 블록을 쌓는 것이 아닙니다. 이것은 조합론(combinatorics)이라 불리는 수학의 한 분야로, 본질적으로는 가능성의 수를 세는 기술입니다. 카드 한 벌을 배열하는 다양한 방법이나 특정 알파벳 세트로 만들 수 있는 고유한 비밀번호의 개수를 구하는 것과 같습니다. 하지만 여기에서 '카드'는 축구공의 패널이며, '비밀번호'는 그 위에 그려진 패턴입니다.

이 퍼즐을 이해하려면 두 가지 주요 개념이 필요합니다. 첫째, **트루쳇 타일(Truchet tile)**입니다. 정사각형 타일에 곡선이 그려져 있다고 상상해 보세요. 그 타일을 회전시키면 선의 모양이 달라집니다. 만약 당신이 이 타일들로 가득 찬 바닥을 가지고 있고, 각 타일을 원하는 대로 돌릴 수 있다면, 수백만 개의 기묘하고 구불구불한 패턴을 만들어낼 수 있습니다. 둘째, **대칭(symmetry)**의 개념입니다. 축구공을 가지고 있으면, 내부의 패턴이 바뀌더라도 겉모습은 외부에서 보기에 동일하게 유지됩니다. 이 분야의 핵심 질문은 이것입니다. "만약 내가 이 회전하는 타일들을 한 움큼 가지고 이 공에 붙인다면, 나는 얼마나 많은 '진정으로 고유한' 공들을 만들 수 있을까?" 언뜻 단순해 보이지만, 이는 까다로운 문제입니다. 왜냐하면 다르게 보이는 공이 단지 당신의 손 안에서 돌아간 모습일 수도 있기 때문입니다. 이 점은 우리가 바이러스부터 축구공에 이르기까지 복잡한 형태 속에 숨겨진 질서를 이해하는 데 도움을 줍니다.

이제 토마스 페르니크(Thomas Fernique)가 이 논문에서 수행한 구체적인 모험에 대해 이야기해 봅시다. 그는 예술가 존 폴 휘틀리(Jon-Paul Wheatley)가 디자인한 매우 특정한 종류의 축구공 디자인을 살펴보았습니다. 휘틀리는 오각형(5각형)과 육각형(6각형)을 위한 패널을 트루쳇 타일처럼 보이도록 디자인했습니다. 휘틀리 디자인의 마법은 패널을 어떻게 회전시키더라도 가장자리가 서로 맞물리기 때문에 이웃한 패널들과 완벽하게 연결된다는 점입니다. 즉, 당신은 공에 있는 20개의 육각형을 각각 세 가지 방식으로 회전시킬 수 있는 반면, 오각형은 (완벽하게 대칭적인 디자인 덕분에) 변하지 않습니다.

만약 공이 회전한다는 사실을 고려하지 않고 단순히 수학 계산만 한다면, 3의 20제곱이라는 엄청난 숫자가 나옵니다. 이는 30억 개가 넘는 서로 다른 모습의 공들입니다. 하지만 여기에는 함정이 있습니다. 만약 우리가 공을 만들고 나서 그 공 전체를 회전시킨다면, 그것은 여전히 같은 공을 다른 각도에서 보는 것뿐입니다. 따라서 진짜 질문은, 우리가 단순히 회전된 버전들을 제외했을 때, 얼마나 많은 '구별되는' 공들이 존재하느냐는 것입니다.

페르니크는 이 문제를 해결하기 위해 **번사이드의 보조정리(Burnside's Lemma)**라는 강력한 수학적 도구를 사용했습니다. 이 도구를 아주 똑똑한 필터라고 생각하면 됩니다. 이 필터는 30억 개의 가능성을 가져와서, 단순히 회전시켜서 얻을 수 있는 중복된 것들을 걸러냅니다. 논문은 축구공을 회전시킬 수 있는 횟수(축구공이 자기 자신과 똑같이 보이도록 돌릴 수 있는 방법은 60가지가 있습니다)를 정확히 계산하고, 각 특정 회전 후에 패턴이 어떻게 유지되는지를 계산합니다.

결과는 어떠했을까요? 모든 "그저 돌아간 것뿐인" 중복들을 필터링한 후, 진정으로 고유한 공의 개수는 30억 개에서 58,130,055개로 줄어들었습니다. 이는 여전히 엄청난 숫자입니다. 약 5,800만 개의 서로 다른 축구공이 있는 셈이죠. 이해를 돕기 위해, 논문은 이 숫자가 전 세계에서 매년 생산되는 축구공의 총 개수와 거의 비슷하다고 언급합니다. 만약 이 고유한 공들을 모두 땅 위에 펼쳐 놓는다면, 약 243 헥타르, 즉 런던의 하이드 파크 크기 정도를 덮을 것입니다. 만약 시장에서 오렌지를 쌓아두듯 이 공들을 쌓는다면, 한 변이 76미터인 정육면체를 채울 수 있으며, 이는 올림픽 규격 수영장 175개 분량에 해당합니다.

논문은 여기서 멈추지 않습니다. 또한 "만약에"라는 질문을 던집니다. 만약 우리가 더 많은 방향으로 회전할 수 있는 다른 패턴들을 사용한다면 어떻게 될까요? 저자들은 패턴을 바꾸어 오각형이 5가지 방향을 갖고 육각형도 5가지 방향을 갖게 된다면, 고유한 공의 개수가 무려 388,051,072,794,677,890,625개로 폭발적으로 늘어난다는 것을 보여줍니다. 이 숫자는 너무나 커서, 만약 이 공들을 쌓는다면 해양을 포함한 지구 전체를 덮고도 남으며, 그 깊이는 약 5,700미터에 달합니다. 이는 아라랏 산보다 높습니다. 저자들은 이를 "공의 홍수(Flood of balls)"라고 부릅니다.

따라서 이 논문은 단순히 타일을 세는 것에 그치지 않습니다. 간단한 축구공과 영리한 수학을 사용하여, '다르게 보이는 것'과 '본질적으로 다른 것'의 차이를 보여줍니다. 이는 단순한 규칙을 적용하더라도, 게임을 어떻게 플레이하느냐에 따라 그 가능성의 우주가 공원, 도시, 심지어 지구 전체를 채울 만큼 방대해질 수 있음을 증명합니다.