Counting Truchet Tile Balls

कल्पना कीजिए कि आप एक गणितज्ञ हैं, लेकिन ब्लैकबोर्ड पर समीकरण हल करने के बजाय, आप लेगो (LEGO) के एक विशाल, ब्रह्मांडीय गोले के साथ खेल रहे हैं। यह केवल ब्लॉक जोड़ने के बारे में नहीं है; यह गणित की एक शाखा के बारे में है जिसे संयोजन विज्ञान (combinatorics) कहा जाता है, जो अनिवार्य रूप से संभावनाओं को गिनने की कला है। इसे ऐसे समझें जैसे कि आप ताश की गड्डी को व्यवस्थित करने के कितने अलग तरीके खोज रहे हैं या आप विशिष्ट अक्षरों के सेट के साथ कितने अद्वितीय पासवर्ड बना सकते हैं। लेकिन यहाँ, हमारे "कार्ड" सॉकर बॉल के पैनल हैं, और हमारे "पासवर्ड" उन पर बने पैटर्न हैं।

पहेली को समझने के लिए, आपको दो मुख्य विचारों की आवश्यकता है। पहला, ट्रुचेट टाइल (Truchet tile)। एक वर्गाकार टाइल की कल्पना करें जिस पर एक घुमावदार रेखा बनी हुई है। यदि आप उस टाइल को घुमाते हैं, तो रेखा अलग दिखती है। यदि आपके पास इन टाइल्स से ढका हुआ एक पूरा फर्श है, और आप प्रत्येक को अपनी इच्छानुसार घुमा सकते हैं, तो आप लाखों जंगली, घुमावदार पैटर्न बना सकते हैं। दूसरा, सममिति (symmetry) की अवधारणा है। यदि आपके पास एक सॉकर बॉल है और आप उसे अपने चारों ओर घुमाते हैं, तो वह बाहर से वैसी ही दिखती है, भले ही उसके अंदर के पैटर्न बदल गए हों। बड़ा सवाल यह है कि: "यदि मेरे पास इन घूमते हुए टाइल्स का एक समूह है और मैं उन्हें एक गेंद पर चिपका देता हूँ, तो मैं कितने वास्तव में अद्वितीय बॉल्स बना सकता हूँ?" यह सरल लगता है, लेकिन यह पेचीदा है क्योंकि एक गेंद जो अलग दिख सकती है, वह केवल आपके हाथ में घुमाई गई वही गेंद हो सकती है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें जटिल आकृतियों, जैसे वायरस से लेकर सॉकर बॉल्स तक, में छिपे क्रम को समझने में मदद करता है। यह एक साधारण सजावट के खेल को एक गहरे गणितीय साहसिक कार्य में बदल देता है।

अब, आइए उस विशिष्ट साहसिक कार्य के बारे में बात करें जो थॉमस फर्नेक (Thomas Fernique) ने इस शोध पत्र में लिया। उन्होंने एक कलाकार जॉन-पॉल व्हीटली (Jon-Paul Wheatley) द्वारा डिज़ाइन किए गए एक बहुत ही विशिष्ट सॉकर बॉल डिज़ाइन को देखा। व्हीटली ने पंचकोणों (5-पक्षीय आकृतियों) और षट्कोणों (6-पक्षीय आकृतियों) के लिए ऐसे पैनल डिज़ाइन किए जो ट्रुचेट टाइल्स की तरह दिखते हैं। व्हीटली के डिज़ाइन का जादू यह है कि आप पैनल को चाहे कैसे भी घुमा लें, वह हमेशा अपने पड़ोसियों के साथ पूरी तरह से जुड़ जाता है क्योंकि उनके किनारे आपस में मेल खाते हैं। इसका मतलब है कि आप बॉल के प्रत्येक 20 षट्कोणों को तीन अलग-अलग तरीकों से घुमा सकते हैं, जबकि 12 पंचकोण (क्योंकि उनका डिज़ाइन पूरी तरह से सममित है) स्थिर रहते हैं।

यदि आप बिना गेंद के घूमने के बारे में सोचे बिना केवल गणित करते, तो आपको एक विशाल संख्या प्राप्त होती: 20 की घात 3। यह 3 अरब से अधिक था। लेकिन यहाँ एक पेंच है: यदि आप पूरी गेंद को घुमाते हैं, तो वह अभी भी वही गेंद है, बस उसे एक अलग कोण से देखा जा रहा है। इसलिए, वास्तविक प्रश्न यह है कि यदि हम उन संस्करणों को अनदेखा कर दें जो केवल घुमाए गए संस्करण हैं, तो कितने विशिष्ट बॉल्स मौजूद हैं?

फर्नेक ने इसे हल करने के लिए एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण का उपयोग किया जिसे बर्नसाइड का लेम्मा (Burnside's Lemma) कहा जाता है। आप इसे एक सुपर-स्मार्ट फिल्टर के रूप में देख सकते हैं। यह उन सभी 3 अरब संभावनाओं को लेता है और उन डुप्लिकेट्स को फ़िल्टर करता है जो केवल एक ही वस्तु के घुमाए गए संस्करण हैं। शोध पत्र गणना करता है कि गेंद को घुमाने के कितने अलग तरीके हैं (एक सॉकर बॉल को खुद जैसा दिखने के लिए 60 अलग-अलग तरीकों से घुमाया जा सकता है) और प्रत्येक विशिष्ट स्पिन के बाद कितने पैटर्न अपरिवर्तित रहते हैं।

परिणाम क्या रहा? सभी "बस-घुमाए-गए" डुप्लिकेट्स को फ़िल्टर करने के बाद, संख्या 3 अरब से घटकर 58,130,055 रह जाती है। यह अभी भी एक विशाल संख्या है—लगभग 58 मिलियन अलग-अलग सॉकर बॉल्स। इसे संदर्भ देने के लिए, पेपर नोट करता है कि यह लगभग उन फुटबॉलों की संख्या है जो हर साल पूरी दुनिया में निर्मित होते हैं। यदि आप इन सभी अद्वितीय बॉल्स को ज़मीन पर बिछा दें, तो वे लगभग 243 हेक्टेयर क्षेत्र को कवर करेंगे, जो लंदन के हाइड पार्क के आकार के बराबर है। यदि आप उन्हें बाज़ार में संतरे की तरह एक के ऊपर एक ढेर कर दें, तो वे 76 मीटर लंबे किनारे वाले एक घन (cube) को भर देंगे, या लगभग 175 ओलंपिक-आकार के स्विमिंग पूल।

यह शोध पत्र यहीं नहीं रुकता है। यह एक "क्या होगा यदि" वाला प्रश्न भी पूछता है: क्या होगा यदि हम अलग तरह के पैटर्न का उपयोग करें जिन्हें अधिक तरीकों से घुमाया जा सके? लेखक दिखाते हैं कि यदि वे पैटर्न को बदलते हैं ताकि पंचकोणों के पास 5 संभावित दिशाएँ हों और षट्कोणों के पास भी 5 हों, तो अद्वितीय बॉल्स की संख्या बढ़कर एक चौंका देने वाली 388,072,794,677,890,625 हो जाती है। यह संख्या इतनी बड़ी है कि यदि आप उन्हें ढेर कर दें, तो वे समुद्रों सहित पूरी पृथ्वी को लगभग 5,700 मीटर की गहराई तक कवर कर लेंगे—जो माउंट अरारत से भी ऊँचा है। लेखक इसे "बॉल्स की बाढ़" (Flood of balls) कहते हैं।

इसलिए, यह शोध पत्र केवल टाइल्स को नहीं गिनता है; यह एक क्लासिक सॉकर बॉल और कुछ चतुर गणित का उपयोग करके हमें यह दिखाता है कि "अलग दिखने" और "अलग होने" के बीच क्या अंतर है। यह साबित करता है कि सरल नियमों के सेट के साथ भी, संभावनाओं का ब्रह्मांड इतना विशाल हो सकता है कि वह एक पार्क, एक शहर, या खेल के तरीके के आधार पर पूरे ग्रह को भर दे।