Jacob's ladders, new classes of sum variants of almost linear formula and corresponding $\zeta$-functionals and $\zeta$-equivalents of the Fermat-Wiles theorem

Technische Zusammenfassung: Jacob’s Ladders, neue Klassen von Summenvarianten der fast linearen Formel und entsprechende $\zeta$-Funktionale sowie $\zeta$-Äquivalente des Fermat-Wiles-Theorems

1. Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit der strukturellen Analyse der Riemannschen Zeta-Funktion, wobei der Schwerpunkt auf dem Hardy-Littlewood-Integral des Quadrats des Betrags der Riemann-Siegel-Funktion $Z(t)$ liegt, definiert als $Z(t) = e^{i\vartheta(t)}\zeta(\frac{1}{2} + it)$. Der Autor strebt an, neue „Summenvarianten“ einer „fast linearen Formel“ abzuleiten, welche das asymptotische Verhalten dieses Integrals über spezifischen Intervallen beschreibt. Darüber hinaus zielt die Arbeit darauf ab, neue Klassen von $\zeta$-Funktionalen und $\zeta$-Äquivalenten des Fermat-Wiles-Theorems (Fermats letzter Satz) basierend auf diesen Integraleigenschaften zu konstruieren. Eine zentrale Unterscheidung in dieser Arbeit ist der Übergang von der Verwendung der Nullstellenfolge der $Z(t)$ (bezeichnet als $\{\gamma_k\}$) zur Verwendung der Gramm-Folge (bezeichnet als $\{t_\nu\}$), die durch die Nullstellen der Gleichung $\vartheta(t) = \nu\pi$ definiert ist.

2. Methodik
Die Methodik stützt sich auf die Theorie der „Jacob’s Ladders“ (Jakobsleitern), ein Rahmenwerk, das in den vorangegangenen Arbeiten des Autors ([2]–[7]) entwickelt wurde. Wesentliche methodische Komponenten sind:

• Jacob’s Ladders und Iterationen: Die Arbeit nutzt die Funktion $\varphi_1(T)$ und deren Iterationen (direkt und invers), um Intervalle $[T, \frac{1}{T}(T)]$ zu definieren, wobei $\frac{1}{T}(T) = \varphi_1^{-1}(T)$. Diese Intervalle dehnen sich für $T \to \infty$ aus und verhalten sich analog zu einem eindimensionalen Friedmann-Hubble-expandierenden Universum.
• Gramm-Folge: Anstatt der Nullstellen von $Z(t)$ basiert die Konstruktion auf der Folge $\{t_\nu\}$, bei der $\vartheta(t_\nu) = \nu\pi$ gilt. Der Abstand zwischen diesen Punkten wird durch die Titchmarsh-Formel bestimmt: $t_{\nu+1} - t_\nu \sim \frac{2\pi}{\ln t_\nu}$.
• Rechteckige $\zeta$-Signale: Der Autor definiert rechteckige Signale $A_2(n)$ über den Intervallen $[t_n, t_{n+1}]$ innerhalb des Jacob’s-Ladder-Intervalls. Die Fläche dieser Rechtecke ist definiert als $|A_2(n)| = Z_2(\tilde{t}(n))(t_{n+1} - t_n)$, wobei $Z_2(t) = |Z(t)|^2$ und $\tilde{t}(n)$ ein Mittelwertpunkt ist.
• Partitionierung und Summation: Das Integral von $Z_2(t)$ über das Intervall $[T, \frac{1}{T}(T)]$ wird in eine Summe dieser Rechteckflächen zerlegt. Die Arbeit unterteilt diese Rechtecke ferner in kleinere elementare Rechtecke $A_{r,p}^2(n)$, indem die Zeit- und Amplitudendimensionen äquidistant unterteilt werden.
• Asymptotische Analyse: Die Arbeit verwendet asymptotische Abschätzungen ($T \to \infty$), um Grenzwerte für Summen dieser Flächen abzuleiten und funktionale Grenzwerte unter Verwendung eines Skalierungsparameters $\tau$ zu konstruieren.

3. Zentrale Beiträge und Ergebnisse

• Vierte Summenvariante der fast linearen Formel:
  Die Arbeit etabliert eine neue asymptotische Formel für die Summe der Flächen der rechteckigen Signale, die durch die Gramm-Folge erzeugt werden:
  $$\sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim (1-c)T, \quad T \to \infty$$
  Dies wird als die „vierte Summenvariante“ der fast linearen Formel des Autors identifiziert, die sich von früheren Varianten unterscheidet, die auf den Nullstellen von $Z(t)$ basieren.

• Kanonische Formel für den arithmetischen Mittelwert:
  Ein bedeutendes Ergebnis ist die Ableitung des asymptotischen Verhaltens des arithmetischen Mittelwerts der Flächen $|A_2(n)|$. Die Arbeit beweist:
  $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim 2\pi, \quad T \to \infty$$
  Dieses Ergebnis wird unabhängig von unbewiesenen Hypothesen hergeleitet. Der Autor stellt fest, dass $2\pi$ der Fläche eines Kreises mit Radius $\sqrt{2}$ oder eines spezifischen Rechtecks entspricht, was auf eine Oszillation der Signalflächen um diese geometrische Konstante hindeutet.

• Neue $\zeta$-Funktionale und $\zeta$-Äquivalente von Fermat-Wiles:
  Durch Anwendung einer Substitution $T = \frac{x}{1-c}\tau$ leitet die Arbeit neue Funktionale ab. Für ein festes $x > 0$:
  $$\lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\tilde{t}(n) > \frac{x}{1-c}\tau} |A_2(n)| = x$$
  Die Arbeit erweitert dies auf die Fermat-Rationalen ($x = \frac{x^m + y^m}{z^m}$ für $m \ge 3$). Sie postuliert eine Bedingung, bei der der Grenzwert der skalierten Summe auf der Menge der Fermat-Rationalen ungleich 1 (oder eines spezifischen Bruchs $l/sq$ für partitionierte Summen) ist. Diese Ungleichheit wird als ein neues „$\zeta$-Äquivalent“ des Fermat-Wiles-Theorems präsentiert.

• Zweite Generation von Formeln:
  Die Arbeit führt „zweite Generation“ Klassen dieser Formeln ein, indem sie die rechteckigen Signale in $l$ Teilrechtecke partitioniert. Sie leitet Grenzwerte für Summen dieser Teilflächen ab und zeigt, dass diese gegen $\frac{l}{sq}x$ konvergieren (wobei $s, q$ Partitionsparameter sind und $l$ die Anzahl der ausgewählten Teilrechtecke darstellt).

4. Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit behauptet, dass diese Ergebnisse neue Einblicke in die Struktur des klassischen Hardy-Littlewood-Integrals liefern. Insbesondere:

• Unabhängigkeit von unbewiesenen Hypothesen: Ein primärer Bedeutungsanspruch ist, dass das Ergebnis bezüglich des arithmetischen Mittelwerts ($2\pi$) für die Gramm-Folge unabhängig von jeglichen unbewiesenen Hypothesen (wie der Riemannschen Hypothese oder der Mertenschen Hypothese) gilt.
• Kontrast zur vorangegangenen Arbeit: Der Autor kontrastiert dies explizit mit Ergebnissen, die aus der Nullstellenfolge $\{\gamma_k\}$ abgeleitet wurden. Das analoge Ergebnis für die nullstellenbasierte Folge (Theorem 10) wird als bedingt durch die sehr starke Mertensche Hypothese ($M(x) = O(\sqrt{x})$) dargestellt, welche die Riemannsche Hypothese und die Einfachheit der Nullstellen impliziert.
• Geometrische Interpretation: Die Arbeit legt eine geometrische Interpretation der analytischen Ergebnisse nahe, indem sie die Oszillation der Energiefächen der Zeta-Funktion mit der Konstante $2\pi$ und der Geometrie der Jacob’s Ladders verknüpft.

Der Autor schließt, dass diese Befunde eine neue Klasse von Inkrementen für das Hardy-Littlewood-Integral liefern und eine neue Perspektive auf das Fermat-Wiles-Theorem durch die mittels der Gramm-Folge erzeugten $\zeta$-Funktionale eröffnen.