Jacob's ladders, new classes of sum variants of almost linear formula and corresponding $\zeta$-functionals and $\zeta$-equivalents of the Fermat-Wiles theorem

技术摘要：雅各布之梯（Jacob's Ladders），新类别的几乎线性公式之和变体以及对应的 $\zeta$-泛函与费马-威勒定理的 $\zeta$-等价物

1. 问题陈述
本文研究了黎曼 $\zeta$ 函数的结构分析，特别关注由 Riemann-Siegel 函数 $Z(t)$ 的平方模的 Hardy-Littlewood 积分所定义的结构，其中 $Z(t) = e^{i\vartheta(t)}\zeta(\frac{1}{2} + it)$。作者试图推导出描述该积分在特定区间内渐近行为的“几乎线性公式”的新型“和变体”。此外，本文旨在基于这些积分属性，构建新型的 $\zeta$-泛函以及费马-威勒定理（费马大定理）的 $\zeta$-等价物。本研究的一个核心区别在于，从使用 $Z(t)$ 的零点序列（记作 $\{\gamma_k\}$）转向使用 Gramm 序列（记作 $\{t_\nu\}$），后者由方程 $\vartheta(t) = \nu\pi$ 的根定义。

2. 研究方法
研究方法依赖于“雅各布之梯”理论，这是作者在前序工作（[2]–[7]）中建立的框架。关键方法论组成部分包括：

• 雅各布之梯与迭代： 本文利用函数 $\varphi_1(T)$ 及其迭代（直接与反向迭代）来定义区间 $[T, \frac{1}{T}(T)]$，其中 $\frac{1}{T}(T) = \varphi_1^{-1}(T)$。这些区间随着 $T \to \infty$ 而扩张，其行为类似于一维 Friedmann-Hubble 膨胀宇宙。
• Gramm 序列： 与基于 $Z(t)$ 的零点不同，本构造是基于满足 $\vartheta(t_\nu) = \nu\pi$ 的序列 $\{t_\nu\}$。这些点之间的间距由 Titchmarsh 公式控制：$t_{\nu+1} - t_\nu \sim \frac{2\pi}{\ln t_\nu}$。
• 矩形 $\zeta$-信号： 作者在雅各布之梯区间内的 $[t_n, t_{n+1}]$ 上定义了矩形信号 $A_2(n)$。这些矩形的面积定义为 $|A_2(n)| = Z_2(\tilde{t}(n))(t_{n+1} - t_n)$，其中 $Z_2(t) = |Z(t)|^2$，且 $\tilde{t}(n)$ 为均值点。
• 划分与求和： 将 $Z_2(t)$ 在区间 $[T, \frac{1}{T}(T)]$ 上的积分分解为这些矩形面积之和。本文进一步通过等距划分时间维度和振幅维度，将这些矩形划分为更小的基本矩形 $A_{r,p}^2(n)$。
• 渐近分析： 本文采用渐近估计（$T \to \infty$）来推导这些面积之和的极限，并构造涉及缩放参数 $\tau$ 的泛函极限。

3. 主要贡献与结果

• 几乎线性公式的第四种和变体：
  本文建立了基于 Gramm 序列生成的矩形信号面积之和的新渐近公式：
  $$\sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim (1-c)T, \quad T \to \infty$$
  这被确定为作者几乎线性公式的“第四种和变体”，与之前基于 $Z(t)$ 零点的变体截然不同。

• 算术平均值的规范公式：
  一个显著结果是导出了面积 $|A_2(n)|$ 算术平均值的渐近行为。本文证明：
  $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N(T)} |A_2(n)| \sim 2\pi, \quad T \to \infty$$
  该结果是独立于任何未证明假设而推导出的。作者指出，$2\pi$ 对应于半径为 $\sqrt{2}$ 的圆或特定矩形的面积，这表明信号面积围绕这一几何常数进行振荡。

• 新的 $\zeta$-泛函与费马-威勒定理的 $\zeta$-等价物：
  通过应用代换 $T = \frac{x}{1-c}\tau$，本文导出了新的泛函。对于固定的 $x > 0$：
  $$\lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\tilde{t}(n) > \frac{x}{1-c}\tau} |A_2(n)| = x$$
  本文将此扩展到费马有理数（$x = \frac{x^m + y^m}{z^m}$，其中 $m \ge 3$）。作者提出了一个条件，即在费马有理数集合上，缩放后的和的极限不等于 1（或对于划分求和而言，不等于特定分式 $l/sq$）。这种非等价性被呈现为费马-威勒定理的一种新的“$\zeta$-等价物”。

• 第二代公式：
  本文通过将矩形信号划分为 $l$ 个子矩形，引入了“第二代”公式类。本文导出了子面积之和的极限，表明它们收敛于 $\frac{l}{sq}x$（其中 $s, q$ 是划分参数，$l$ 是选定子矩形的数量）。

4. 重要性与主张
本文声称这些结果为 Hardy-Littlewood 积分的结构提供了新的见解。具体而言：

• 独立于未证明的假设： 本文的一个主要重要性主张是，关于 Gramm 序列的算术平均值（$2\pi$）的结果是独立于任何未证明假设（如黎曼假设或梅滕斯假设）而成立的。
• 与前作的对比： 作者明确地将此结果与基于零点序列 $\{\gamma_k\}$ 的结果进行了对比。基于零点的类似结果（定理 10）被证明取决于极强的梅滕斯假设（$M(x) = O(\sqrt{x})$），该假设蕴含了黎曼假设及零点的单至性。
• 几何解释： 本文提出了对分析结果的几何解释，将 $\zeta$ 函数能量面积的振荡与常数 $2\pi$ 以及雅各布之梯的几何结构联系起来。

作者总结道，这些发现为 Hardy-Littlewood 积分提供了一类新的增量，并通过由 Gramm 序列生成的 $\zeta$-泛函，为费马-威勒定理提供了一个全新的视角。